Aufgabe:
Ich habe eine nilpotente Matrix A∈M(n,n;K) und En∈M(n,n;K) eine Einheitsmatrix. Ich will zeigen, dass dann En+A invertierbar ist.
Problem/Ansatz:
Ich versuche es per Widerspruch. Ich habe zwei Ansätze bisher gehabt, die mich aber nicht weit ebracht haben; mir fällt nur kein weiterer ein.
1. Ansatz:
Angenommen En+A sei nicht invertierbar. Dann ist rg(En+A)<n. Dann ist nicht für jedes b∈Kn das LGS (En+A)*x=b lösbar, d.h., es gibt ein b'∈Kn mit s∈Kn (En+A)*s=b', was also lösbar ist.
2. Ansatz:
Angenommen En+A sei nicht invertierbar. Dann ist rg(En+A)<n, bzw. det(En+A)=0. Jetzt schreibe ich diese Determinante um, in der Hoffnung, dass man daraus einen Widerspruch erzeugen könnte. Da A nilpotent ist und damit nicht regulär, sind die Spalten von A linear abhängig, sodass die j-te Spalte von A als Linearkombination wie folgt geschrieben werden kann:
$$ \det(e_1+a_1,...,e_{j-1}+a_{j-1},e_j+a_j,e_{j+1}+a_{j+1},...,a_n+e_n) \\=\det(e_1+a_1,...,e_{j-1}+a_{j-1},e_j+\Bigg( \sum_{i\neq j} c_i\cdot a_i \Bigg),e_{j+1}+a_{j+1},...,a_n+e_n)\\=\det(e_1+a_1,...,e_{j-1}+a_{j-1},e_j,e_{j+1}+a_{j+1},...,a_n+e_n)\\+\sum_{i\neq j} c_i\cdot \det(e_1+a_1,...,e_{j-1}+a_{j-1},a_i,e_{j+1}+a_{j+1},...,a_n+e_n)$$
Ab hier komm ich auch nicht weiter. Was ich aber noch dazu sagen kann ist: Es werden hier einige Determinanten verschwinden (=0 sein), da einige Spaltenvektoren mehrfach enthalten oder nur die Spalten von A, welche linear abhängig sind und dann auch verschwinden. Über den verbliebenen Rest der Determinanten sehe ich nichts weiter, da ich nicht weiß ob auch die verbliebenen Determianten auch noch linear abhängige Vektoren haben könnten.
EDIT: Bei beiden Ansätzen wüsste ich auch nicht wirklich, wie ich die Nilpotenz von A noch ausnutzen könnte.
