Extremstellen der Funktionen und Sattelpunkte bestimmen

Question

 Also! Gegeben sind die Folgende Funktionen:

(I) f₁(x) = 3x + 2

(II) f₂(x) = – \( \frac{1}{x} \)

(III) f₃(x) = x³ + 4x

(IV) f₄(x) = x³ – 8

(V) f₅(x) = x³ – 2x²

(VI) f₆(x) = 2x³ + 3x² + 12

und D_{f1, f2, f3, f4, f5, f6} = ℝ

Miene Aufgabe:

"a) Untersuchen Sie jede Funktion auf Extremwertstellen"

b) Welche der Funktionen f1 bis f6 haben Sattelpunkte? Bestimmen Sie Diese!"

yo ich weiß, ..voll viele Funktionen.. Aber, wenn mir jemand 2, 3, aufgaben als Beispiel vorrechnen könnte, dass würde mir echt viel helfen!! Ich bedanke mich schonmal im voraus! 

Answer 1

z.B.

f₃(x) = x^3 + 4x

f ' (x) = 3x^2 + 4

f ' (x) = 0 besitzt keine Lösung, also gibt es keine Extremstellen.oder Sattelpunkte.

oder so:

f(x) =  x^3 – 2x^2

f ' (x) = 3x^2 - 4x

==> f ' (x) = 0 <=>  x*(3x-4) = 0

                       <=>  x=0 oder x = 4/3

an den Stellen KÖNNEN Extremstellen sein.

Prüfen mit f ' ' (x) = 6x-4

f ' ' (0) = -4 < 0 ==>  Max bei x=0

f ' ' (4/3) = 4 > 0 ==>  Min bei x=4/3

f ' ' (x) = 0 <=>   x = 2/3 und f ' ' ' (2/3)≠0

==> Wendestelle bei x=2/3 aber

kein Sattel, da f ' (2/3) ≠0.

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Vielen Dank! Ich hab es jetzt gescannt alle aufgaben erfolgreich durch zuarbeiten!

Answer 2

V.

f(x) = x^3 - 2x^2

f'(x) = 3x^2  - 4x

f''(x) = 6x - 4

notw. Bed.: f'(x) = 0

3x^2 - 4x = 0

x(3x - 4) = 0

x₁ = 0

3x - 4 = 0

x₂ = 4/3

hinr. Bed.: f"(x) ≠ 0

f''(0) = - 4 < 0   => Maximum

f''(4/3) = 4 > 0  => Minimum

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Hi hi!! Vielen Danke fü deine Antwort1 ich kann es alles gut nachvollziehen.

Bei (II) bin ich aber stecken geblieben...

f2(x) = – \( \frac{1}{x} \)     Das ergibt = – x^–1  Richtig?

dann.... f₂'(x) = x^–2 ?... und... f₂''(x) = –2x^–3?

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Ja. Deine Ableitungen sind richtig.

Answer 3

a) Untersuchen Sie jede Funktion auf Extremwertstellen

(I) f₁(x) = 3x + 2 keine Extremstellen

(II) f₂(x) = – 1x  keine Extremstellen

(III) f₃(x) = x³ + 4x   0=3x²+4 hat keine reelle Lösung. keine Extremstellen

(IV) f₄(x) = x³ – 8   0=3x²   Extremstelle x=0. Dort ist auch 6x=0  Sallelpunkt

(V) f₅(x) = x³ – 2x²    0=3x²-4x=x(3x-4)  Extremstellen x=0 und x=4/3. Bei x=0 ste auch die zweite Abl gleich 0. Sattelpunkt

(VI) f₆(x) = 2x³ + 3x² + 12   0=6x²+6x=6x(x+1) Extremstellen x=0 und x=-1.    

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Es hat mir echt geholfen meine antworten nachzuprüfen :)