Transponierte Vektoren und Matrizen

Question

Aufgabe:

Ich wollte kurz nachfragen ob ich bei der Rechnung richtig vorgehe bzw. wie ich weiter vorgehen soll.

Es seien A = \( \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \)   ∈ R2x2  und die Abbildungen

g : R2 → R, x→ x^T*A*x
gegeben, wobei wir x als Spaltenvektor verstehen. Zeigen Sie mit der Definition der Differenzierbarkeit, dass g differenzierbar ist und bestimmen Sie die Ableitung.

Problem/Ansatz:

Mein Ansatz lautet wie folgt:

Definition der Ableitung: f(x+h)=f(x)+f'(x)*h+h^2 (oder nicht?)

g(x+h)=(x+h)^T*A*(x+h)^T=(x^T+h^T)*A*(x+h) = (x^T*A)+(h^T*A)*(x+h) = x^T*A*x + x^T*A*h + h^T*A*x + h^T*A*h

Meine Frage ist ob das richtig ist bis hierhin und wie ich jetzt zu der Form der Definition der Ableitung komme.

Answer 1

Die Ableitung einer Funktion von f:R²  nach R ist selbst wieder aus R²

Im wesentlichen musst du die Ableitung in zwei Richtungen berechnen, also einmal mit h*(1,0) und einmal mit h*(0,1) und dann die Grenzwerte.

Siehe auch https://de.wikipedia.org/wiki/Gradient_(Mathematik)

Du verwendest auch nicht die richtige Formel für die Ableitung. Nimm

$$ \mathcal{lim}_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} $$

Wenn das als Hinweis nicht reicht melde dich nochmal

Comments

in wie fern muss ich mit h*(0,1) ableiten? Könntest du das bitte genauer erläutern?