Wie berechnet man die transponierte Matrix?

Question

Aufgabe:

Sei \(  A = XDX^{*} \in \mathbb{C}^{n \times n} \)

Wie transponiert man die den folgenden Ausdruck: \( (XDX^*x)^T*x \). Ich bin mir nicht ganz sicher, wie sich die Reihenfolge ändert. Könnt ihr mir das erklären?

Answer 1

Aloha :)

Es gilt \((A\cdot B)^T=B^T\cdot A^T\). Die Matrizen werden also einfach von rechts nach links in transponierter Form aufgeschrieben:$$(X\cdot D\cdot X^\ast\cdot x)^T\cdot x=x^T\cdot(X^\ast)^T\cdot D^T\cdot X^T\cdot x$$Im Komplexen musst du aber aufpassen, weil es dort auch die adjungierte Matrix gibt. Dabei wird die Matrix nicht nur transponiert, sondern ihre Elemente werden zusätzlich noch komplex konjugiert:$$A^H=(A^\ast)^T=(A^T)^\ast$$

Da in der Aufgabe die Matrix \(X^\ast\) vorkommt, könnte es sein, dass die adjungierte Matrix und nicht die transponierte Matrix gesucht ist. Dazu solltest du vielleicht die Aufgabenstellung nochmal checken.

Comments

Hallo, danke für die ausführliche Antwort und ja, es handelt sich um eine unitäre adjungierte Matrix.

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Dann musst du noch alle Matrizen komplex konjugieren.

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Wäre dann \( X^{**} \) = X?

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Ja genau, 2-mal komplex konjugiert führt zur Ausgangsmatrix.

Answer 2

Du meinst

\(\left(X \; D \; X^{*} \; x \right)^{T} = \left(x^{T} \; X^{* \; T} D^{T} \; X^{T} \right)\)