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Wie hängen die \(e\)-Funktion und \(0!\) zusammen? Hängen sie überhaupt zusammen?
Auf diese Frage gibt dieser Artikel eine Antwort, der eine Ergänzung zu den Gründen, weshalb man 0! als 1 definiert, ist.
\(e^x\) kann allgemein für alle \(x\in\mathbb{R}\) durch diese Reihe dargestellt werden: $$e^x=\sum\limits_{n=0}^{\infty}{\frac{x^n}{n!}}$$ Da \(x\) alle reellen Zahlenwerte annehmen kann, ist auch \(x=0\) möglich. Wenn du für \(x\) also \(0\) eisetzt, erhältst du: $$e^0=\sum\limits_{n=0}^{\infty}{\frac{0^n}{n!}}$$ Ausgeschrieben ergibt sich diese Summe: $$e^0=\sum\limits_{n=0}^{\infty}{\frac{0^n}{n!}}=\frac{0^0}{0!}+\frac{0^1}{1!}+\frac{0^2}{2!}+\frac{0^3}{3!}+...$$ \(e^0\) auf der linken Seite ist \(1\). Alle Summanden ab \(n=1\) haben den Wert \(0\), da im Zähler \(0\) steht. Man addiert ab dort also unendlich oft die \(0\), weshalb nur der erste Summand interessant ist. Wenn wir per Konvention festlegen, dass \(0^0=1\) ist, steht dort: $$1=\frac{1}{0!}$$ Wenn wir nun beide Seiten der Gleichung mit \(0!\) mutliplizieren, ergibt sich: $$0!=1$$ Somit hast du ein weiteres Argument dafür, weshalb es sinnvoll ist, \(0!\) als \(1\) zu definieren. Dieses Argument ist jedoch nur dann stichhaltig, wenn wir annehmen, dass \(0^0=1\) ist. Hiermit werden wir uns aber in einem anderen Artikel beschäftigen.
Dieser Artikel ist eine Ergänzung zu den Argumenten, weshalb \(0!\) als \(1\) definiert wird.
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