Mathe-Artikel #024: Die e-Funktion und 0!

Question

Wie hängen die $e$-Funktion und $0!$ zusammen? Hängen sie überhaupt zusammen?

Auf diese Frage gibt dieser Artikel eine Antwort, der eine Ergänzung zu den Gründen, weshalb man 0! als 1 definiert, ist.

$e^x$ kann allgemein für alle $x\in\mathbb{R}$ durch diese Reihe dargestellt werden: $$e^x=\sum\limits_{n=0}^{\infty}{\frac{x^n}{n!}}$$ Da $x$ alle reellen Zahlenwerte annehmen kann, ist auch $x=0$ möglich. Wenn du für $x$ also $0$ eisetzt, erhältst du: $$e^0=\sum\limits_{n=0}^{\infty}{\frac{0^n}{n!}}$$ Ausgeschrieben ergibt sich diese Summe: $$e^0=\sum\limits_{n=0}^{\infty}{\frac{0^n}{n!}}=\frac{0^0}{0!}+\frac{0^1}{1!}+\frac{0^2}{2!}+\frac{0^3}{3!}+...$$ $e^0$ auf der linken Seite ist $1$. Alle Summanden ab $n=1$ haben den Wert $0$, da im Zähler $0$ steht. Man addiert ab dort also unendlich oft die $0$, weshalb nur der erste Summand interessant ist. Wenn wir per Konvention festlegen, dass $0^0=1$ ist, steht dort: $$1=\frac{1}{0!}$$ Wenn wir nun beide Seiten der Gleichung mit $0!$ mutliplizieren, ergibt sich: $$0!=1$$ Somit hast du ein weiteres Argument dafür, weshalb es sinnvoll ist, $0!$ als $1$ zu definieren. Dieses Argument ist jedoch nur dann stichhaltig, wenn wir annehmen, dass $0^0=1$ ist. Hiermit werden wir uns aber in einem anderen Artikel beschäftigen.

Dieser Artikel ist eine Ergänzung zu den Argumenten, weshalb $0!$ als $1$ definiert wird.

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