Wenn sich x aus V auf zwei unterschiedliche Weisen als LK von a1, ak darstellen lässt, dann sind a1.ak, linear abhängig.

Question

Sei V ein Vektorraum. Zeigen Sie: Wenn sich  x ∈ V auf zwei unterschiedliche Weisen als Linearkombination von ⟨a₁, ..., a_k⟩ darstellen lässt, dann sind a₁, ..., a_k linear abhängig.

Hinweis: Nehmen Sie oBdA an, dass in den beiden Linearkombinationen (u.a.) die Koeffizienten von a₁ ungleich sind.

Answer 1

seien also die Allgemeinheit nicht beschränkend die Koeffizienten von \( a_1 \) ungleich. Das heißt es gibt die Darstellungen

\( x = \sum k_i a_i \) und \( x = \sum l_i a_i \)

mit \( k_1 \neq l_1 \). Subtrahiert man diese beiden Darstellungen voneinander, so erhält man

\( 0 = \sum (k_i - l_i) a_i \).

Wegen \( k_1 \neq l_1 \) oder besser, weil es ein Paar \( k_i, l_i : k_i \neq l_i \) gibt, ist die Darstellung der Null durch die \( a_i \) mit Hilfe von nicht verschwindenden Koordinaten in \( K \) möglich, mit anderen Worten, sind die Vektoren \( a_i \) linear abhängig.

MfG

Mister