Zwischenwertsatz Minimum Maximum: f(x) = Betrag(x^{5} - 8x^{2} +4)

Question

Aufgabe:

Gegeben ist die Funktion f(x) = Betrag(x^5 - 8x^2 +4)

Man soll zeigen das:

a) Die  Funktion auf dem Intervall (-2,2) eine Minimalstelle hat.

b) das gilt: f(x) >= 4 für alle  betrag(x)>= 2

c) Es ist gefragt: Nimmt die Funktion auf R ein Minimum ein ?

Problem/Ansatz:

zur a):  mir ist klar, dass man hier den Satz vom Minimum und Maximum nehmen soll, aber der gilt ja eigentlich nur auf kompakten Intervallen. Hier hab ich aber ein offenes Intervall. Ich hab leider keine Ahnung wie ich da vorgehen soll und hab auch nirgendswo Beispiele gefunden, wie man da vorgehen kann.

c) Ich hätte gesagt, da es der Betrag einer Funktion ist, werden alle Minimalstellen der "ursprünglichen" Funktion zu Maximas. Es können keine Werte unter 0 angenommen werden. Da die Betragsfunktion aber an diesen Nullstellen nicht differenzierbar ist, "zählen" diese Nullstellen nicht, und es existiert kein Minimum. So hab ich das jedenfalls gehört. Stimmt das so ?

Answer 1

Hallo

 nirgends steht , dass die Funktion differenzierbar sein soll. also hast du recht mit Nullstellen =Minima. dazu die fkt ohne Betrag untersuchen , also etwa x(0)=4 >0 x(-1)<0 also dazwischen eine Nst, dann auch Nst. des Betrages.

b) x^5-8x^2>=0 für x>2 dann ist das +4 größer 4

x<-2 , x^5-8x^2<-64  also der Betrag auch >4

c) wenn nach genau einem Min gefragt ist nein, aber f(x) ohne Betrag hat 3 Nullstellen, also nimmt sie Minima an

Gruß lul

Comments

Hey Vielen Dank für deine Antwort !

Ich hab noch eine Frage zur b):  Wie beweise ich, dass x^5 - 8x^2 >= 0 für x>= 2. Ich weiß man sieht das ja sofort aber die wollen bestimmt einen formalen beweis.

zur c) : Hier ist nach einem Minimum gefragt, während in Aufgabenteil a) nach einer Minimalstelle gefragt wurde. Die scheinen da also schon einen Unterschied zu machen

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Ist mit https://www.mathelounge.de/629971/minima-einer-betragsfunktion nun beides erledigt?

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Die c) ist damit erledigt aber nicht die b)

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in b) wird der Bereich ausserhalb des Intervalls (-2,2) betrachtet.

Die Frage b) lässt sich für x=2 und wenig mehr mit dem Graphen noch nicht wirklich entscheiden (nachrechnen). Links von x=-2 gibt es aber keine Gefahr mehr, dass der Funktionswert unter 4 fällt.

 ~plot~ abs(x^5 - 8x^2 +4);4;x=2;x=-2;[[-4|5|-2|10]] ~plot~

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x^5-8x^2=0 für x=2,  x^5-8x^2>0  für x>2 denn x^3/8-1>0 denn (x/2)^3>1

Gruß lul

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alles klar, danke dir !