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Aufgabe:

Aufgabe 2:
Seien X eine Menge und K ein Körper. Betrachtet wird der K-Vektorraum M(X, K).
Fur jedes a ∈ X sei ea ∈ M(X, K) die Abbildung X → K definiert durch
x -> 0 wenn x ungleich a und x -> 1 wenn x=a

Fur jedes f ∈ M(X, K) setze supp(f) := {x ∈ X | f(x) ungleich 0} ⊆ X.

Zeigen Sie
(i) <{ea | a ∈ X}> = {f ∈ M(X, K) | supp(f) ist endlich}.
(ii) Sind a1, a2, . . . , an ∈ X mit ai ungleich aj und i ungleich j, so ist das Tupel (ea1, ea2, . . . , ean) ∈ M(X, K) n linear unabhängig.
(iii) dim M(X, K) = |X|.


Problem/Ansatz:

Leider bereitet mir die Aufgabe sehr viele Schwierigkeiten, da ich schon Probleme habe zu verstehen, was genau das oben genannte meint. Ich erkennen leider nicht, wie meine Abbildung genau aussieht und verstehe daher auch nicht wie ich damit arbeiten bzw. Rechnen soll.

Wie ich etwas auf Lineare Unabhängigkeit überprüfe es mir bewusst, da musst ich ja nur zeigen das die Paramteter gleich 0 sind. Aber indem Fall, verstehe ich nicht wie ich das einsetzten müsse. Zudem ist mir nicht bewusst, wie ich etwas auf "Endlichkeit" überprüfen bzw. Zeige das etwas endlich ist. Zudem haben wir leider nicht erklärt bekommen, was supp bedeutet, was mich umso mehr verwirrt....

Ich wäre sehr Dankbar, wenn mir einer Helfen könnte und mir erklären kann wie ich hier vorgehen soll bzw. wie meine Abbildung überhaupt aussieht.

LG

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1 Antwort

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Beste Antwort

Hallo Eselsbrücke, nehmen wir an, M wäre der „normale“ Vektorraum, wie wir ihn aus der Schule kennen:  Der dreidimensionale Raum.  Siehe mein Bild.  Nehmen wir weiter an, a sei (0, 1, 1).  Dann geht die Abbildung ea so:  Jedem Vektor wird 0 zugewiesen, außer a.  Diesem wird 1 zugewiesen.  Bis hierher alles klar? 

Die Zeile „Für jedes f …“ ergibt in meinen Augen keinen Sinn, denn f ist ein Vektor, und weiter hinten in der Zeile ist f eine Abbildung, die einem Vektor eine Zahl zuweist, so wie weiter oben ea.  Bitte poste den Scan der Aufgabe.  Vielen Dank.

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Vielen Dank für deine Hilfe!

Ich habe vor ein paar Tagen die Aufgabe selber lösen können mithilfe meiner Kommilitonen, dennoch vielen Dank für deine Mühe.

LG

Die Zeile „Für jedes f …“ ergibt in meinen Augen keinen Sinn, denn f ist ein Vektor, und weiter hinten in der Zeile ist f eine Abbildung, die einem Vektor eine Zahl zuweist

f ist ein Vektor im Vektorraum der Abbildungen von X nach K. Welcher Sinn fehlt dir hier?

Hallo EmNero, vielen Dank für den guten Hinweis.  Dann ist die Sache doch ein bisschen komplizierter als gedacht.  Da habe ich „beste Antwort“ unverdient bekommen.  :-)  

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