Aufgabe:
Aufgabe 2:
Seien X eine Menge und K ein Körper. Betrachtet wird der K-Vektorraum M(X, K).
Fur jedes a ∈ X sei ea ∈ M(X, K) die Abbildung X → K definiert durch
x -> 0 wenn x ungleich a und x -> 1 wenn x=a
Fur jedes f ∈ M(X, K) setze supp(f) := {x ∈ X | f(x) ungleich 0} ⊆ X.
Zeigen Sie
(i) <{ea | a ∈ X}> = {f ∈ M(X, K) | supp(f) ist endlich}.
(ii) Sind a1, a2, . . . , an ∈ X mit ai ungleich aj und i ungleich j, so ist das Tupel (ea1, ea2, . . . , ean) ∈ M(X, K) n linear unabhängig.
(iii) dim M(X, K) = |X|.
Problem/Ansatz:
Leider bereitet mir die Aufgabe sehr viele Schwierigkeiten, da ich schon Probleme habe zu verstehen, was genau das oben genannte meint. Ich erkennen leider nicht, wie meine Abbildung genau aussieht und verstehe daher auch nicht wie ich damit arbeiten bzw. Rechnen soll.
Wie ich etwas auf Lineare Unabhängigkeit überprüfe es mir bewusst, da musst ich ja nur zeigen das die Paramteter gleich 0 sind. Aber indem Fall, verstehe ich nicht wie ich das einsetzten müsse. Zudem ist mir nicht bewusst, wie ich etwas auf "Endlichkeit" überprüfen bzw. Zeige das etwas endlich ist. Zudem haben wir leider nicht erklärt bekommen, was supp bedeutet, was mich umso mehr verwirrt....
Ich wäre sehr Dankbar, wenn mir einer Helfen könnte und mir erklären kann wie ich hier vorgehen soll bzw. wie meine Abbildung überhaupt aussieht.
LG
