Minima einer Betragsfunktion: f(x) = betrag(x^5-8x^2+4)

Question

Aufgabe:

Gegeben ist eine Betragsfunktion, die mehrere Nullstellen hat.

f(x) = betrag(x^5-8x^2+4)

In Aufgabenteil a) sollte man dann zeigen, dass die Funktion in einem bestimmten Intervall eine "Minimalstelle" hat. Das nur als Hintergrund

In Aufgabenteil c) war jetzt gefragt: Nimmt die Funktion auf R ein Minimum an ?

Problem/Ansatz:

Meine Ideen:
Jetzt ist die Frage ob die Nullstellen der Betragsfunktion als Minimum zählen oder nur als Minimalstelle. Wenn man in Aufgabenteil a) sowieso schon gezeigt hat, dass die Funktion Minimalstellen hat, was soll dann die Frage aus Aufgabenteil c) ? Was sagt ihr dazu ?

Answer 1

Nimmt die Funktion auf R ein Minimum an ?

Ja.

g(x) = x⁵-8x²+4 ist stetig.

g(0) = 4 > 0

g(1) = -3 < 0

Nach dem Zwischenwertsatz hat g im Intervall (0, 1) mindestens eine Nullstelle.

Laut Defintion des Betrags hat f(x) = |g(x)| an dieser Nullstelle ein lokale Minimum.

Laut Defintion des Betrags ist dieses lokale Minimum ein globales Minimum.

Jetzt ist die Frage ob die Nullstellen der Betragsfunktion als Minimum zählen oder nur als Minimalstelle.

Sie zählen als Minimalstellen. Die dortigen Minima sind 0.

Wenn man in Aufgabenteil a) sowieso schon gezeigt hat, dass die Funktion Minimalstellen hat

In Teil a) geht es um ein lokales Minimum, in Teil c) um ein globales.

Answer 2

Wenn man in Aufgabenteil a) sowieso schon gezeigt hat, dass die Funktion Minimalstellen hat, was soll dann die Frage aus Aufgabenteil c) ? Was sagt ihr dazu ?

Der Betrag verhindert, dass die Funktionswerte unter 0 gehen können. Insbesondere ist ausgeschlosssen, dass lim f(x) = -∞  für x gegen unendlich.

usw.

Darum gibt es hier auch (mindestens) eine Stelle, an der die Funktion ihr globales Minimum annimmt.

Bsp.  ~plot~ x^2(2-x) ~plot~
hat an der Stelle x=0 ein lokales Minimum, es gibt aber keine Stelle an der ein globales Minimum angenommen wird. 

Comments

Ah habs verstanden, vielen Dank, du hast mir sehr geholfen !

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Bitte. Gern geschehen.

Übrigens: Betrag ist keine Garantie für die Annahme eines globalen Minimums: Bsp.

~plot~ abs( e^(-x) +2) ~plot~

Answer 3

f ( x ) = | x^5 -8*x^2 +4 |
Die Funktion kann nie negativ werden.

Die Funktion hat 3 Nullstellen