Quadratische Gleichung umformen, umstellen und auflösen

Question

Aufgabe:

$$\frac{x+6}{x^2-7x}-\frac{4}{(7-x)^2}=\frac{1}{x-7}$$

Problem/Ansatz:

ich versuche obige Aufgabe zu lösen, komme aber beim Umformen der Brüche nicht weiter. Aus dem ersten Bruch kann man x ausklammern und hat dann x(x-7). Das Problem ist der Bruch in der Mitte: Kann man den umformen auf (x-7)^2 und bringt das überhaupt etwas? Danke für jeden Tipp oder Lösungshinweis!

Answer 1

$$\frac{x+6}{x^2-7x}-\frac{4}{(7-x)^2}=\frac{1}{x-7}$$

x-7 und 7-x unterscheiden sich nur durch das Vorzeichen.

Quadriert ist also beides gleich

$$<=>  \frac{x+6}{x*(x-7)}-\frac{4}{(x-7)^2}=\frac{1}{x-7}$$

Mit x*(x-7)^2 multiplizieren gibt für x≠7 und x≠0

$$<=>  (x+6)*(x-7) -4x  =x*(x-7)  $$

und das gibt

 -5x - 42   =  -7x

also   21=x

Answer 2

Kann man den umformen auf (x-7)² und bringt das überhaupt etwas? Ja und ja!

jetzt mit dem Hauptnenner x(x-7)² durch multiplizieren. Dann kürzen sich alle Nenner weg.