Algebra, Vektorräume. Durch Verknüpfung von zwei K-Vektorräumen wird es zu einem K-Vektorraum. VxW => K-Vektorraum.

Question

Bei dieser Aufgabe(i) geht's darum, zu zeigen, dass aus Verknüpfung von zwei K-Vektorräumen zu einem neuen K-Vektorraum wird.

Zeigen Sie: (i) Sind V und W zwei K-Vektorräume so wird durch die Verknüpfungen (a,b) + (a',b') = (a+b) + (a'+b'). T(a,b) = Ta +Tb für a,a' € V , b,b' € W und T€ K.

Ich habe mir schon Gedanken dazu gemacht, dass ich erst mal beweisen soll, dass man aus zwei K-Vektorräumen eine kommutative Gruppe bilden kann. Und so ist die kommutative Gruppe der neue K-Vektorraum. BIN ICH SO AUF DEM RICHTIGEN WEG?

Und bei (ii) muss man Basen beweisen.

Ich habe aber keine Ahnung, WIE??

(ii) Sind ai € V für i€ I und bj € W für j€J Basen, so ist (( ai, 0 ) i€ I) ∪ (( 0,b ) j€J) eine Basis von V x W.

Würde mich freuen, wenn mir jamand helfen könnte.

Dankeschön mal im Voraus.

Answer 1

Du musst die Vektorraumaxiome alle prüfen für die in der Aufgabe

definierten Verknüpfungen auf der Menge VxW durch Rückführung auf die Einzelräume.

Etwa Assoziativität von + so:

Seien  (a1,b1) , (a2,b2) , (a3,b3) aus VxW. Dann gilt

( (a1,b1) + (a2,b2) )  + (a3,b3)   nach Def. von +

[ Die hast du wohl falsch zitiert, heißt vermutlich

(a,b) + (a',b') = (a+a'  , b+b')  ]

=  (a1+a2,b1+b2 )  + (a3,b3)

[  und darauf wieder die Def. anwenden mit a1+a2 für a

und b1+b2 für b und  a3 bzw. b3 für a' bzw. b'  gibt ]

= ((a1+a2) + a3,  (b1+b2)+b3 )

wegen Assoziativität in V und W ist das

= (a1+(a2 + a3),  b1+(b2+b3 ) )

und jetzt die Def. von + rückwärts anwenden

=(a1,b1) + (a2 + a3, b2+b3 )

und nochmal gibt

 (a1,b1) + ( (a2,b2)   + (a3,b3) ).  q.e.d.

Und in der Art musst du dich durch die ganzen VR-Axiome

hangeln. Ein Haufen Schreibarbeit !

Comments

Erstmal vielen vielen Dank für deine Antwort.

Ich habe jetzt so verstanden, dass ich noch die Kommutativität, neutrales, Inverses, mal bezüglich ,,+" und mal bezüglich ,, . " zeigen muss. Stimmt's ??

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So ist es .  Alle Axiome halt, auch distributiv und  1*v=v .

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Ich habe es versucht, kriege es aber mit den neutralen und inversen Elemente bezüg. ,,+'' nicht hin.

Wäre sehr sehr nett, wenn du mir erklärst, wie das geht...

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V und W sind Vektorräume, also gibt es in V einen

0-Vektor und auch in W einen.

Dann ist ( 0, 0 ) der Nullvektor von VxW denn

sein (v,w) ∈ VxW , dann ist

(v,w) + (0,0) = ( v+0, w+0) = (v,w).

Entsprechend ist

( -v, -w) das additive Inverse zu ( v,w).

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Vielen vielen Dank

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Hi, wie sieht es mit der ii) aus ? Es kommt mir simpel vor. Da es ja daraus folgt dass es Basen aus V und W sind allerdings bin ich mir nicht sicher wie ich das korrekt zeigen soll.

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Du musst zeigen, dass

a) jedes El. aus VxW damit dargestellt werden kann und

b) dass  (( ai, 0 ) i€ I) ∪ (( 0,b ) j€J) linear unabhängig ist.

zu a) Idee:  Sei (v,w) ∈ VxW

dann gibt es xi und yj aus K mit

∑ xivi = v und ∑ yjwj = w also

∑ xi*(vi,0) + ∑ yj(0.wj) = (v,w)

zu b) sei  ∑ xi*(vi,0) + ∑ yj(0.wj) = (0,0)

==>    ∑ xi*(vi,0) = (0,0) und ∑ yj(0.wj) = (0,0)

weil in der 1. Summe alle 2. Komponenten

und in der 2. alle 1. Komponenten 0 sind.

Also ∑ xivi =  und ∑ yjwj = 0 und damit

alle xi und yj gleich 0, weil die vi und die wj

je eine Basis von V bzw. W bilden.