Bilinearform mit {0}≠ U=U^⊥

Question

Es sei F eine symmetrische Bilinearform und U ein Unterraum von V.^⊥

Kann mir jemand ein Beispiel geben, bei dem F nicht-ausgeartet ist, aber gleichzeitig {0}≠ U=U^⊥ gilt?

Comments

Hast du absichtlich in der ersten Zeile U und V, in der zweiten Zeile aber nur noch U?

Und was hat F mit U und V zu tun?

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Oh sorry ja da hab ich mich vertippt. Die Frage muss eigentlich wie folgt heißen:

Es sei F VxV →K eine symmetrische Bilinearform und U ein Unterraum von V.

Kann mir jemand ein Beispiel geben, bei dem F nicht-ausgeartet ist, aber gleichzeitig {0}≠ U=U^⊥ gilt

Answer 1

Sei \(V=K^2\) mit Standardbasis \(e_1,e_2\).

\(F\) sei definiert durch:

\(F(e_1,e_1)=F(e_2,e_2)=0,\; F(e_1,e_2)=F(e_2,e_1)=1\).

Dann gilt für \(U=Ke_1\) : \(U^{\perp}=U\neq \{0\}\).

In der umfangreichen Theorie der quadratischen Formen nennt man

ein solches \((V,F)\) eine Hyperbolische Ebene.