Mit Kettenregel hat das nichts zu tun.
Du meinst vermutlich "Verkettung" und das heißt doch n ur,
dass du bei f(x,y,z) jeweils etwas einsetzen musst, nämlich
g1(x,y) für x und g2(x,y) für x und g3(x,y) für z.
Das bedeutet f ( g1(x,y) , g2(x,y) , g3(x,y) )
also ist φ(x,y) = f ( g1(x,y) , g2(x,y) , g3(x,y) )
= f ( x^2+y , x+y , -x + y^2 )
und mit der Def. von f erhältst du damit in
der 1. Komponente statt xz+y
den Term (x^2 + y)*(-x+y^2)+(x+y) = -x^3 +x^2*y^2+x-xy+y^3+y
und statt xy-yz
den Term (x^2 + y)*(x+y) - (x+y)*( -x + y^2 )= x^3 +x^2*y+x^2 -xy^2 +2xy -y^3+y^2
Also ist φ(x,y)=
( -x^3 +x^2*y^2+x-xy+y^3+y , x^3 +x^2*y+x^2 -xy^2 +2xy -y^3+y^2 )
Und die Kettenregel würdest du brauchen um davon die
Ableitung zu bestimmen.