Gleichung der Parabel 3. Ordnung, die im ersten Quadranten mit p eine Fläche vom Inhalt 4 einschliesst?

Question

Aufgabe:

Eine Parabel 3. Ordnung schneidet die Parabel p: y=(x-2)^2 [editiert] bei x=0 und berührt sie bei x=2

im ersten Quadranten schliessen die beiden Parabeln eine Fläche vom Inhalt A=4 ein

Bestimme die Gleichung der Parabel

Ansatz:

Mit den Informationen aus dem Text konnte ich die Parabel so vereinfachen, sodass sie neben x nur noch eine Unbekannte beinhaltet.

Ich kann den Integral mit 4 gleichsetzen und diesen dann nach der Unbekannten auflösen

Wie kann ich aber sicher sein, dass das dann nur die Fläche des ersten Quadranten ergibt?

Comments

schneidet die Parabel p: y=(x-2)

x - 2 wäre eine Gerade oder
etwas unüblich eine Parabel 1.Ordnung

Stimmt die Aussage
y = x - 2
oder
soll es
y = ( x -2 ) ^2
heißen ?

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oh ja stimmt, ich habe ^2 vergessen

Answer 1

g(0) = f(0)
g(2) = f(2)
g'(2) = f'(2)
|∫ (0 bis 2) (f(x) - g(x)) dx| = 4

Wenn ich das obige Gleichungssystem löse, komme ich auf folgende Lösung:

~plot~ (x-2)^2;3x^3-11x^2+8x+4;[[-1|7|-1|6]] ~plot~

Comments

Da stimmt doch was nicht.

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Meintest du das der Betrag in der Bedingung fehlt. Ja. Das sollte ich noch ändern.

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vielen Dank!

so habe ich das auch hinbekommen, jedoch lautet meine eigentliche Frage, wie ich mir sicher sein kann, dass ich nur das Integral im ersten Quadranten berechne und der Graph nicht noch unter die x-Achse geht?

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wie ich mir sicher sein kann ...

Davon kannst du dich wohl nur nachträglich überzeugen, indem du feststellst, ob g im Intervall [0 ; 2] stets positiv ist oder nicht.

Hier ist das für den geforderten Flächeninhalt 4 der Fall

und der Graph nicht noch unter die x-Achse geht?

Das ist kein Widerspruch,
wäre A = 5/4 gefordert worden, hätte es die beiden Lösungen
g_1(x) = 15/16x^3-11/4x^2-x/4+4
und  g_2(x) = -x^3+5x^2-8x+4 gegeben.

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vielen Dank!

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Hallo coach,

Meintest du das der Betrag in der Bedingung fehlt.
Ja. Das sollte ich noch ändern.
| ∫ (0 bis 2) (f(x) - g(x)) dx | = 4

Das ist nicht notwendig.
Die Fläche unterhalb von ( x-2)^2 zwischen
0 und 2 ist 8/3.
Da die Fläche zwischen den Funktionen 4 ist
kann f nicht unterhalb von g liegen.
f liegt oberhalb. Also genügt
 ∫ (0 bis 2) (f(x) - g(x)) dx  = 4
Ohne Betragstriche.

mfg Georg

Answer 2

Das Integral hast du doch von 0 bis 2 gemacht.

Dann siehst du doch am Ergebnis ob es nur der 1. Quad. ist.

Comments

also wie sehe ich es am ergebnis?

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xxx hat eine Korrektur für die Funktionsgleichung vorgenommen.