Aufgabe:
Sei (Ω;P) ein W.-raum und A,B ⊆ Ω. Zeigen Sie
a) PA(.) := P(.|A) ist ein W.-maß auf Ω.
b) Sind A und B unabhängig, dann auch Nicht-A und Nicht-B.
Welcher Zusammenhang besteht zwischen Unabhängigkeit und Unvereinbarkeit?
Problem/Ansatz:
Zu a)
Ich weiß dass ein Wahrscheinlichkeitsmaß durch die folgenden Eigenschaften definiert ist.
i) P (Ω)=1
ii) E1,E2⋅⋅⋅∈
Ei ∩ Ej = ∅ für i ≠ j
P P \bigcup_{n=1}^{\infty} E_{n}=\sum_{n=1}^{\infty} P\left(E_{n}\right)
Ich weiß aber nicht wie ich dass zeigen soll und wie man das mit einer bedingten Wahrscheinlichkeit macht.
Zu b)
Gleiches Problem wie bei A. Bin mir nicht sicher, wie ich das zeigen soll. Meine Gedanke ist, dass man die Unabhängigkeit von A und B als Formel so umformen muss, dass am Ende rauskommt, dass die Negation von A und B rauskommt.
Ich kenne den Unterschied zwischen Unabhängigkeit und Unvereinbarkeit.
Unvereinbar sind zwei Elemente, wenn das gleichzeitige Eintreffen von beiden Ereignissen unmöglich ist.
Unabhängig sind zwei Ereignisse, wenn das erste Ereignis, nicht die Wahrscheinlichkeit des zweiten Ereignisses beeinflusst.
Wenn A und B unvereinbar ⇛ P(A∪B) = P(A) + P(B)
⇛ P(A∩B) = Ø
Wenn A und B unabhängig ⇛ P(A∩B) = P(A) ∙ P(B)
Gibt es noch einen Zusammenhang zwischen Unvereinbarkeit und Unabhängigkeit?
