Hallo,
du hast also einen Maßraum \((\Omega, \mathcal{A}, P)\) mit einem Wahrscheinlichkeitsmaß \(P\) mit \(P(B)>0\) für \(B\in \mathcal{A}\) gegeben durch \(P: \, \mathcal{A}\to [0,1], \, P(\cdot |B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}\). Dass das die bedingte Wahrscheinlichkeit ist, muss ich dir wahrscheinlich nicht sagen.
So, also checken wir alle Kolmogorow-Axiome:
Normiertheit: \(P(\Omega | B)=\frac{P(\Omega \cap B)}{P(B)}=\frac{P(B)}{P(B)}=1\)
Maß liefert nur Werte zwischen 0 und 1:
\(P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}\geq 0\), da \(P(B)>0\) und \(P(A\cap B)\geq 0\)
\(\sigma\)-Additivität:
Zu zeigen ist, dass \(P(A\cup C|B)=P(A|B)+P(C|B)\) falls \(A\cap C=\emptyset\). Dann gilt:$$P(A\cup C|B)=\frac{P((A\cup C)\cap B)}{P(B)}=\frac{P((A\cap B)\cup (C\cap B))}{P(B)}$$$$=\frac{P(A\cap B)+P(C\cap B)}{P(B)}=P(A|B)+P(C|B)$$
