Aloha :)
Zunächst würde ich den Term für die Folge \((a_n)\) etwas umstellen:
$$a_n=2-\frac{2n^2+1}{n^2-n+1}=\frac{2(n^2-n+1)}{(n^2-n+1)}-\frac{2n^2+1}{n^2-n+1}=\frac{2n^2-2n+2}{n^2-n+1}-\frac{2n^2+1}{n^2-n+1}$$$$\phantom{a_n}=\frac{(2n^2-2n+2)-(2n^2+1)}{n^2-n+1}=\frac{-2n+1}{n^2-n+1}$$
Das sieht so aus, als wäre der Grenzwert dieser Folge \(a=0\). Wir überprüfen dies mit dem \(\epsilon\)-Kriterium:
$$\left|a_n-a\right|=\left|\frac{-2n+1}{n^2-n+1}-0\right|=\left|-\frac{2n-1}{n^2-n+1}\right|=\frac{2n-1}{n^2-n+1}$$Viele machen sich an dieser Stelle unnötig selbst Probleme, indem sie diesen Term schon kleiner als \(\varepsilon\) setzen. Einfacher ist es, diesen Term zunächst weiter nach oben abzuschätzen. Wir vergrößern den Zähler um \(1\) und machen dadurch den Bruch größer:$$|a_n-a|=\frac{2n-1}{n^2-n+1}<\frac{2n}{n^2-n+1}$$Wir verkleinern den Nenner um \(1\) und machen dadurch den Bruch gößer (weil wir ja durch weniger dividieren), das heißt:$$|a_n-a|<\frac{2n}{n^2-n+1}<\frac{2n}{n^2-n}=\frac{2n}{n(n-1)}=\frac{2}{n-1}$$Der Nenner \((n-1)\) wird jetzt für \(n=1\) zu null. Das ist hier aber nicht schlimm, weil wir ja den Fall \(n\to\infty\) untersuchen. Dadurch haben wir die Abschätzung nun so weit vereinfacht, dass das \(\varepsilon>0\) ins Spiel kommen kann:$$|a_n-a|<\frac{2}{n-1}\stackrel!<\varepsilon$$Die Forderung können wir nun nach \(n\) umstellen:$$\frac{2}{n-1}<\varepsilon\;\;\Leftrightarrow\;\;\frac{n-1}{2}>\frac{1}{\varepsilon}\;\;\Leftrightarrow\;\;n-1>\frac{2}{\varepsilon}\;\;\Leftrightarrow\;\;n>\frac{2}{\varepsilon}+1$$
Damit haben wir für jedes \(\varepsilon>0\) gefunden:$$\left|a_n-0\right|<\varepsilon\quad\text{für}\quad n\ge n_0\;:\!=\left\lceil\frac{2}{\varepsilon}+1\right\rceil$$Die Folge \((a_n)\) konvergiert daher gegen \(0\).
