Lagrange Ableitungshilfe

Question

Aufgabe:

L(x,y,λ)=-x²-y²+4+λ(2-(x-1)²-(y-1)² = L(x,y,λ)=-x²-y²+4+λ(-2-x²+2x-y²+2y)

Problem/Ansatz:

Wie weiß jetzt nicht mehr genau wie das mit den λ Ableiten geht

Wäre toll wenn wir wer helfen könnte.

Vielen Dank!!

Answer 1

L = - x^2 - y^2 + 4 + λ·(2 - (x - 1)^2 - (y - 1)^2)

L = - x^2 - y^2 + 4 + λ·(- x^2 + 2·x - y^2 + 2·y)

Dann lauten die partiellen Ableitungen:

L'x = -2x + λ·(-2x + 2) = 0

L'y = -2y + λ·(-2y + 2) = 0

L'λ = - x^2 + 2·x - y^2 + 2·y = 0

Comments

Muss das nicht -λ·(-2y + 2) = 0

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Ich bekomme ich denn hier den Extrempunkt raus?

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Du hattest die Lagrange-Funktion mit

L = - x^2 - y^2 + 4 + λ·(2 - (x - 1)^2 - (y - 1)^2)

aufgestellt. Du kannst auch

L = - x^2 - y^2 + 4 - λ·(2 - (x - 1)^2 - (y - 1)^2)

nehmen. Zweiteres wäre üblich. Das spielt aber keine Rolle. Um Extrempunkte zu bekommen musst du das Gleichungssystem lösen. Dabei kannst du zunächst die ersten partiellen Ableitungen nach Lambda auflösen und gleichsetzen

- 2·x + λ·(- 2·x + 2) = 0 --> λ = x/(1 - x)

- 2·y + λ·(- 2·y + 2) = 0 --> λ = y/(1 - y)

x/(1 - x) = y/(1 - y) --> y = x

Damit gehst du dann in die Nebenbedingung

- x^2 + 2·x - x^2 + 2·x = 0 --> x = 0 ∨ x = 2

Prüfe also mal (0, 0) und (2, 2)

https://www.wolframalpha.com/input/?i=optimize+-x%5E2-y%5E2%2B4+with+(x-1)%5E2%2B(y-1)%5E2%3D2

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Danke, aber eine letzte frage, wie kommt man auf Gleichsetzten, das da ich noch nie gesehen.

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Du kannst auch das Einsetzungsverfahren nehmen. Du solltest mind. 3 Verfahren zum Lösen von Gleichungssystemen kennen.