Minimalpolynom (A) = Minimalpolynom (T^(-1)AT)

Question

Aufgabe:

Sei A eine quadratische Matrix und T invertierbar. Zeigen Sie, das Minimalpolynom von A ist gleich dem Minimalpolynom von T^(-1)AT ist.

Problem/Ansatz:

Damit mA=mT^(-1)AT, gilt muss gelten, dass die von ihnen erzeugten Ideale I1 und I2 gleich sind, also dieselben Elemente in ihnen enthalten sind.

Es gilt: p Elemente von I1 <=> p(A) =0 <=> p(A) *T=0*T=0 <=> T^(-1)*p(A)*T=T^(-1)*0=0 <=> (*) p(T^(-1)AT)=0 <=> p Element von I2.

Der Schritt (*) ist mir leider noch nicht ganz klar. Vielleicht kann mir da jemand weiterhelfen.

Comments

Kannst du https://www.mathelounge.de/547393/minimalpolynom-minimalpolynom-wenn-matrix-invertierbar brauchen?

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Ja, danke. Da ist der Teilbeweis, der mir noch fehlt.

Nur der Schritt:

\( \sum\limits_{k=0}^{d}{}a_k (S M_1 S^{-1})^k \) = \( \sum\limits_{k=0}^{d}{a_k S M_1^k S^{-1}} \)

ist mir noch nicht ganz klar.

Answer 1

\(\displaystyle (SM_1S^{-1})^k=SM_1S^{-1}SM_1S^{-1}SM_1S^{-1}\cdot\cdot\cdot SM_1S^{-1}\) k-mal und \(\displaystyle S^{-1}S=1\). Damit folgt \(\displaystyle SM_1M_1M_1\cdot\cdot\cdot M_1S^{-1}\) k-mal \(\displaystyle M_1\). Also \(\displaystyle SM_1^kS^{-1}\).