Wie berechnet man den Grenzwert bei folgenden Reihen...?

Question

Wie berechnet man den Grenzwert bei den Reihen:

(a) \( \sum \limits_{n=0}^{\infty}\left(-\frac{5}{9}\right)^{n} \)

(b) \( \sum \limits_{k=0}^{\infty} \frac{3^{k+2}-2}{6^{k}} \)

Answer 1

Hallo,

bei (a) liegt eine geometrische Reihe vor mit \(q=-\frac{5}{9}\), also hat die Reihe den Wert

\(\frac{1}{1-q}=\frac{1}{14/9}=\frac{9}{14}\).

Bei (b) ziehen wir die Summe auseinander und bemerken, dass auch hier modifizierte
geomatrische Reihen vorliegen:$$=\sum\frac{3^{k+2}}{6^k}-\sum\frac{2}{6^k}=9\sum(\frac{1}{2})^k-2\sum(\frac{1}{6})^k=9\cdot\frac{1}{1-1/2}-2\cdot\frac{1}{1-1/6}=\, \cdots$$

Gruß ermanus