Menge aller Linearkombinationen ist konvex

Question

Aufgabe:

V ℝ-Vektorraum , M ⊆ V  und C ist die Menge aller Linearkombinationen  t₁x₁ + .. + t_nx_n  wobei n ∈ ℕ, x_i  ∈ M und t_i ∈ [0,1]

wobei ∑ t_i = 1.

Zu zeigen:

a) C ist konvex

b) C enthält M

c) Ist D ⊆ V konvex mit M ⊆ D, so ist C ⊆ D

Problem/Ansatz:

a) Ich weiß was konvex bedeutet und wie es aussehen soll : λa - (1-λ)b ∈ C wobei a,b ∈ C.

  Irgendwie bekomme ich es nicht hin die obige Lin.komb. auf die konvexe formel zu leiten. Oder ist was anderes gefordert?

b) Da alle x_i aus M sind , ist es wohl klar das die Linearkombination der x_i die Menge M enthält.

   Muss man hier zeigen, dass sich jedes Element aus M mit der LinKomb darstellen lässt  und es somit in C ist?

c) Hier habe ich garkeine Ahnung. Als Tipp ist Induktion angegeben. Aber worüber?

Freue mich über Tipps!! :)

Answer 1

Hallo Hilflooserstudent1

Bei Aufgabe a) kannst du doch mal zwei beliebige Elemente aus C aufschreiben, um diese dann in der Formel (,dass C konvex ist) einsetzen.

z.B.: $$a:=t_1x_1+...+t_nx_n$$ $$b:=l_1x_1+...+l_nx_n$$

Daraus folgt, dass folgendes gelten muss:

$$\sum_{k=1}^{n}{\lambda (t_k-l_k)+l_k} = 1$$ $$\lambda (t_k-l_k)+l_k \in [0,1] \forall k \in[1,...,n]$$

Falls du damit zurecht kommst, sollte b) auch nicht mehr die Schwierigkeit sein

Comments

Ahso, ja ich habe 2 bel. Elemente aus C in die Form eingesetzt und bin dann am Ende zu deinem Ergebnis gekommen!

Aber was genau ist die Aussage am Ende ? Wenn man 2 Elemente aus C in die Konvexformel einbaut erhält man dass λ(tk−lk)+lk∈[0,1]∀k∈[1,...,n] ist, aber was genau bringt mir das.

Irgendwie verwirrt mich das

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Du willst ja zeigen, dass C konvex ist, also: $$\forall a,b\in C:\lambda a-(1-\lambda)b \in C$$

Wenn du a und b wie oben genannt wählst und umstellst, erhältst du:

$$(\lambda(t_1-l_1)+l_1)x_1+...+(\lambda(t_n-l_n)+l_n)x_n$$

Damit das in C liegt, musst du die zwei genannten Sachen -die ich geschrieben habe- nachweisen. Das wars.

Hoffe dir hat das ein wenig geholfen ;D

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mir fällt gerade auf, dass ich mich bei der Definition von konvex verschrieben habe, natürlich lautet diese:
$$\forall a,b \in C:\lambda a+(1-\lambda)b\in C$$