Zeige: Lineare Funktion f(x) = ax hat Eigenschaften f(x+x') = f(x) + f(x') und f(α*x) = α*f(x)

Question

Aufgabe:

f(x) = ax + b  | b=0

f(x) = ax

Nun steht, dass f(x)=ax folgende zwei Eigenschaften besitzt, aber es wird nicht gezeigt und ich selbst sehe es auf Anhieb nicht. Deswegen frage ich hier:

Es hat die Eigenschaften (einer Linearen Abbildung):

f(x+x') = f(x) + f(x') und
f(α*x) = α*f(x) 


Frage:

Kenn das jemand kurz zeigen ?

Edit:
Ich kann es mit a=1 und einigen Zahlenbeispielen zeigen. Aber unsicher ob es immer und egal wie das a gewählt wird funktioniert.

Answer 1

Hallo

 du musst doch nur einsetzen?

f(x+x')=a(x+x')=ax+ax' =f(x)+f(x')

f(r*x)=a*(r*x)=r*a*x=r*f(x)

Gruß lul

Answer 2

f(x) = ax

Nun steht, dass f(x)=ax folgende zwei Eigenschaften besitzt, aber es wird nicht gezeigt und ich selbst sehe es auf Anhieb nicht. Deswegen frage ich hier:

Es hat die Eigenschaften (einer Linearen Abbildung):

f(x+x') = f(x) + f(x') und
f(α*x) = α*f(x) 

Einsetzen und Distributivgesetz (oder ander Gesetze für reelle Zahlen (?))  benutzen

f(x+x') = a(x+x') = ax + ax' = f(x) + f(x')

f(α*x) = α*f(x)  analog! 

Comments

f(α*x) = α*f(x)  analog! 

 
f(a*x) = a*f(x)  | f(x) = x
         = a*x
         = a*f(x).

Richtig?

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Achtung: Unterscheide alpha und a. Es müssen beide vorkommen in der Rechnung.

a ist ein Parameter (gegeben), alpha ein (beliebiger) linearer Faktor.

lul hat für alpha r benutzt.

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Hallo

 wie du es geschrieben hast ist es falsch, denn f(x)=x ist zwar auch eine lineare Funktion, due sollst es aber für f(x)=a*x beweisen. auch wenn a nicht =1 ist.

weil man oft  α und a kaum unterscheiden kann, hab ich statt α r gewählt

Gruß lul

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wie du es geschrieben hast ist es falsch,

Das war auch die Idee von meinem Kommentar. Gut, dass du das explizit geschrieben hast, falls das oben unklar blieb.

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Okay vielen Dank, ich abreite heute an der Linalg weiter und werde mir das anschauen.

Answer 3

in der linearen Algebra spricht man von linearen Abbildungen f wenn gilt:

f(αx +βy)=αf(x)+βf(y) für Vektoren x,y aus dem dazugehörigen Vektorraum V und α,β aus dem dazugehörigen Körper K

Das einfachste Beispiel sind lineare Funktionen

f: R->R, x->ax

Hier ist V=K=R

Dann gilt

f(αx +βy)=a*(αx +βy)=

α*(ax)+β(ay)=α*f(x)+β*f(y)

gemäß Distributiv und Kommutativgesetz.

Alsonist das eine lineare Abbildung.

Du kannst dir nun auch überlegen,

weshalb f(x)=ax+b zwar auch als lineare Funktion bezeichnet wird, aber trotzdem keine lineare Abbildung ist.