Question

Seien α, β ∈ ℝ und α ≠ 0.  Begründen Sie, warum die Abbildung

{(x,αx+β)|x∈ℝ} ⊆ ℝ × ℝ injektiv ist.

Answer 1

Aloha :)

Injektiv bedeutet, dass jedes Element der Zielmenge höchstens 1-mal erreicht wird. Nehmen wir also an, es gibt 2 Werte \(a,b\in\mathbb{R}\) aus der Definitionsmenge, die dasselbe Bild haben, dann gilt:

$$f(a)=f(b)\;\;\Rightarrow\;\;\binom{a}{\alpha a+\beta}=\binom{b}{\alpha b+\beta}\;\;\Rightarrow\;\;a=b$$

Es gibt also keine 2 verschiedenen Werte \(a,b\) aus der Definitionsmenge, die dasselbe Bild haben. Die Abbildung ist daher injektiv.

Answer 2

Du musst doch nur zeigen

αx+β=αy+β  | -ß

==>  αx=αy   | :α (ist ja nicht 0 )

==>   x = y         q.e.d.