f(x) = αx^2 +βx+c mit α,β,c ∈ R. Behauptung: (f(b)-f(a))/(a-b) = f'((a+b)/2)

Question

Sei f : [a,b] → R mit f(x) = αx^2 +βx+c mit α,β,c ∈ R. Zeigen Sie: (f (b) − f (a)) / (a-b) = f ' ((a+b)/2).

Answer 1

Ich ersetze die griechischen Buchstaben durch u,v,w

Sei f : [a,b] → R mit f(x) = ux² +vx+w mit α,β,c ∈ R. Zeigen Sie: (f (b) − f (a)) / (a-b) = f ' ((a+b)/2).

f '(x) = 2ux + v

f ' ((a+b)/2) = 2u(a+b)/2 + v = u(a+b) + v

 (f (b) − f (a)) / (a-b) = (ub^2 + vb + w - ua^2 - va -w) / (a-b)

=(ub^2 + vb  - ua^2 - va) / (a-b)

= (u(b^2 - a^2) + v(b-a) ) / (a-b)

= (u(b+a)(b-a) + v(b-a) / ( a-b)

=  (u(b+a) + v)(b-a)) / ( a-b)          |kürzen! ein Vorzeichenfehler bleibt:

= -(u(b+a) + v)                      ≠ f ' ((a+b)/2)

Blaue Formel in Behauptung sicher?

Sollte wohl 

 (f (b) − f (a)) / (b-a)        heissen. Dann stimmt die Rechnung.

Comments

Danke :) hat mir weiter geholfen und ja sollte so heißen :)