16. Ableitung von f(x) = sin(x) * cos(x)

Question

Verzweiflung...

Es geht darum die 16. Ableitung herzuleiten.

f(x) = sin(x) * cos(x)

Selbstverständlich könnte ich f', f'', f''', f'''', usw. berechnen.

Jedoch geht es darum, eine Formel herzuleiten um die n-te Ableitung zu bestimmen.

Laut WolframAlpha ist die Lösung

2¹⁶ * sin(x) * cos(x)

Ich hab dann mal geguckt ob es immer so ist

2ⁿ * sin(x) * cos(x)

Aber schien wohl nicht so. 

Ist keine Ausrede: aber in der Schule haben wir sowas noch nie gemacht und zum ersten mal seit Anfang des Semesters habe ich Probleme mit Mathe.

Wenn mir jemand erstmal einen Ansatz liefern könnte wäre super...!

Comments

Allgemeines Vorgehen für diese und ähnliche AUfgaben: Die ersten paar Werte ausrechnen, eine Vermutung aufstellen, diese beweisen.

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Hi,

ich weiß nicht ob Dir das was hilft. Aber wer weiß.

http://www.mathepedia.de/Hoehere_Ableitungen_Differentialrechnung.aspx

Answer 1

f(x) = sin(x)*cos(x) 

Man könnte hier ja mal ein Additionstheorem benutzen

f(x) = sin(x)*cos(x) = 1/2 * sin(2x)

Wenn wir das 16 mal ableiten ist das recht einfach. 4 mal ableiten gibt wieder den sinus. 16 mal ableiten gibt 16 mal den faktor 2 dazu

f^{16}(x) = 1/2 * 2^16 * sin(2x) = 2^15 * sin(2x)

Nun nutzen wir wieder das Additionstherorem

f^{16}(x) = 2^15 * sin(2x) = 2^15 * (2 * sin(x) * cos(x)) = 2^16 * sin(x) * cos(x)

Answer 2

Erinnere dich an die Doppelwinkelformel:

sin(2x) = 2 sin x cos x

Diese Formel folgt aus dem Additionstheorem für den Sinus.

Daher f(x) = sin(x) cos(x) = 1/2 sin(2x)

f ' (x) = 1/2 cos(2x) * 2

             = cos(2x)

f '' ( x) = -2 sin(2x)            Gerade Ableitungen enthalten also wieder sin(2x)

f '''(x) = -4 cos(2x)

f ''''(x) = 8 sin(2x)             Bei jedem Vierten ist das Vorzeichen wieder gleich wie zu Beginn.
....

16-te Ableitung

f '^{16} = 2^15 sin(2x) = 2^15* 2 sin(x) * cos(x) = 2^16 sin(x) * cos(x)