Skalarprodukt für den Schiefen Turm von Pisa

Question

Aufgabe: Gibt es ein Skalarprodukt auf ℝ² bezüglich dessen die Vektoren (1,0)^T  und  (1,2)^T  orthogonal zueinander stehen?

Problem/Ansatz: Wie geht man an solch eine Aufgabe am besten ran?

Vielen Dank!

Comments

Hattet iht Skalarprodukte,<v,w>  die durch v^T*M*w bestimmt waren, dann versuch ob du so ne Matrix  hinkriegst.

Gruß lul

Answer 1

Probier mal den Tipp von lul mit    M =

1        -0,5
-0,5      1

oder definiere einfach für a=(a1,a2) und b=(b1,b2) das

Skalarprodukt <…,....> in der Form

<a,b> = a1*b1 -0,5*(a1*b2+a2*b1) + a2b2

und zeige, dass dies alle Axiome eines

Skalarproduktes erfüllt.

Comments

Ich versuche es mal.

Answer 2

Hallo Erdbeere,

Du weißt doch, dass das Skalarprodukt linear, d.h., <v+w,z> = <v,z>+<w,z>  und positiv definit ist, d.h.,

 $$\displaystyle \langle x,x\rangle \geq 0$$

$$\displaystyle \langle x,x\rangle =0$$    genau dann, wenn$$\displaystyle x=0$$

Wir nehmen an, es gäbe ein derartiges Skalarprodukt. Dann gilt doch:

$$0=<\begin{pmatrix} 1\\0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1\\0 \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} 0\\2 \end{pmatrix}>=<\begin{pmatrix} 1\\0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 1\\0 \end{pmatrix}>+<\begin{pmatrix} 1\\0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0\\2 \end{pmatrix}>$$

Da $$\langle\begin{pmatrix} 1\\0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 1\\0 \end{pmatrix}\rangle>0$$ ist, müsste dann$$ \langle\begin{pmatrix} 1\\0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0\\2 \end{pmatrix}\rangle<0 $$ sein. Das ist abe ein Widerspruch zur positiven Definitheit.Also gibt es kein deartiges Skalarprodukt.