Ausrechnen von x hoch x hoch x hoch x hoch … = 2

Question

Aufgabe:

Wie rechnet man das x aus bei:

\( x^{x^{x^{x^{...}}}} = 2 \)

Comments

Vom Duplikat:

Titel: Gibt es eine Eindeutige Lösung für x^x....

Stichworte: limes,potenzturm

Aufgabe: Sei a ∈ ℝ, mit a ≥ 0. Berechne die die Gleichung \( x^{x^x...} \) = a. Gibt es eine Lösung, wenn ja ist sie Eindeutig ?

 Hallo wie Berechne ich das ?

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Die Frage existiert zwar schon ist auch dort schon auf beantwortet gestellt worden. Allerdings ist die dort gegebene Antwort unvollständig. Also dies Frage bitte wieder öffnen.

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Der Artikel zu "Potenzturm" bei Wikipedia klärt meiner Meinung nach alle wichtigen Fragen. Wie man überhaupt sinnvoll die linke Seite definiert und für welche x das möglich ist, und für welche Werte von a es lösbar ist (genau die mit e^-1<=a<=e) und die Eindeutigkeit der Lösung.

https://de.wikipedia.org/wiki/Potenzturm

Answer 1

Lösung:

$$x = \sqrt{2}$$

Comments

z = x^x^x^...

Dann gilt wohl

x^z = z = 2

Das macht doch mit (√2)^2= 2 durchaus Sinn.

Ein Genie rechnet nicht sondern hat eine Eingebung.

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Ein Genie kann durchaus rechen. Du hast (mind.) zwei Möglichkeiten:

(1) Umwandlung in rekursive Folge:

\( a_1 = x \)

\( a_2 = x^x = x^{a_1} \)

\( a_3 = x^{x^x} = x^{a_2} \)

\( a_{n+1} = x^{a_n} \)

Mit \( a_n \to 2 \) für \( n \to \infty \) gilt dann

\( 2 = x^2 \).

(2) Mit

$$ x {\rm~hoch~} \underbrace {x {\rm~hoch~} x {\rm~hoch~} x {\rm~hoch~} x \dots}_{=2} = 2 $$

folgt ebenfalls

\( x^2 = 2 \).

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Das macht so überhaupt keinen Sinn, weil dann auch x^x^ ... = 4 nach deiner Methode dieselbe Lösung x = √2 hätte, aber 2 ist ja wohl nicht dasselbe wie 4 .

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Siehe hier:

https://www.youtube.com/watch?v=JrOG1tKAatg

und hier:

https://de.wikipedia.org/wiki/Potenzturm

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In dem Video wird ja auch genau eure Einsetzmethode vorgeführt, aber ebenfalls ohne jegliche Rechtfertigung.

Ich bleibe dabei :  Wenn diese Rechtfertigung fehlt, dann kann ich auch die Gleichung x^x^x^x^... = 4 durch Einsetzen zu  x^4 = 4 umformen und erhalte ebenfalls die Lösung
x = ⁴√4 = √2 .
Ohne vorherigen Nachweis der Konvergenz der Folge (a_n) ist nichts gezeigt.

Den Nachweis kann ich aber leider nicht führen.

Gruß Rudi aka hj2166

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a(1) = √2 = 1.414213562

a(2) = √2^a(1) = 1.632526919

a(3) = √2^a(2) = 1.760839555

a(n + 1) = √2^a(n)

Nun sieht es doch so aus das √2^x eine streng monoton steigende Funktion ist. Und solange a(n) < 2 ist muss a(n + 1) < 2 sein.

Kann man nicht für diese Folgendefinition den Grenzwert 2 erwarten.

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Ich hatte zunächst Probleme mit der Logik

1.  x^x^.. = s  hat genau dann eine Lösung, wenn (a_n) konvergiert
2.  Wenn (a_n)  konvergiert, dann kann x mit der Einsetzmethode bestimmt werden.
3.  Wenn x mit der Eisetzmethode bestimmt wurde, dann ergibt sich x = x_0
4.  Wenn x = x_0 ist, dann konvergiert (a_n)

das sieht doch auf den ersten Blick wie ein Zirkelschluss aus, aber in der Reihenfolge 4.-1.-2. scheint es die Existenz und Eindeutigkeit von x_0 = √2  für s = 2 zu zeigen und macht für  s = 4 überhaupt keine Aussage.

Noch so ein Beispiel für die "geniale Einsetzmethode" :

Bestimme x so, dass  x + x^2 + x^3 + ...  =  -0,5  ist.

Lösung :  -0,5  =  x + x^2 + x^3 + x^4 + ... 
                        =  x·(1 + x + x^2 + x^3 + ...)
                        =  x·(1 + (x + x^2 + x^3 + ...))
                        =  x·(1 + (-0,5))  =  0,5x
 und daraus   x = -1

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Ah. Nur das hier eben x + x^2 + x^3 + ...  für x = -1 eben nicht konvergiert.

Ich liebe Numberphile

https://www.youtube.com/watch?v=E-d9mgo8FGk

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für x = -1 eben nicht konvergiert. 

Davon rede ich doch (" macht für  s = 4 überhaupt keine Aussage. "), weil eben x^x^...nur Grenzwerte ≤e zulässt (warum das so ist, weiß ich allerdings immer noch nicht).

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Wenn man die Gleichung

x^n = n

nach x löst bekommt man

x = n^(1/n)

Wenn man sich f(n) = n^(1/n) mal plottet dann gibt das irgendwo ein Maximum.

f'(n) = n^((1 - 2·n)/n)·(1 - LN(n)) = 0

1 - LN(n) = 0 --> n = e

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Das sieht auf den ersten Blick ganz gut aus, hat aber folgenden Nachteil, der unbedingt noch einen zweiten Blick erforderlich macht :
Deine Funktion hat kein Minimum (bzw. als Grenzwert den Punkt (0|0)), obwohl es ein minimales x gibt, für das der Potenzturm konvergiert (nämlich x_min = (1/e)^e) und zwar zum minimalen Grenzwert 1/e.

Answer 2

Algebraisch geht das nicht. Auch mit einem Näherungsverfahren wirds wohl schwierig.

Wieviel x hast du denn?

https://www.wolframalpha.com/input/?i=x%5Ex%5Ex%5Ex%5Ex%5Ex%3D2