Ich habe Probleme mit den Verständnis der Funktionenfolgen und der punktweisen Konvergenz.
f(x) ist ja definiert als $$ f(x) = \lim\limits_{x\to\infty} f_{n}(x) $$
Und die punktweise Konvergenz ist wie folgt definiert
$$\displaystyle \forall x\in D\ \forall \varepsilon >0\ \exists N\in \mathbb {N} \ \forall n\geq N\colon \left|f_{n}(x)-f(x)\right|<\varepsilon $$
Die Definition besagt ja, dass alle x der Folgefunktion, die Folge an der Stelle x, also fn(x) ab einem beliebigen n, beliebig nahe an f(x) gehen muss, stimmts? Das is ja das gleiche wie, dass die Folge fn(x) gegen f(x) konvergiert. Jedoch ist doch f(x) als Grenzwert von fn(x) definiert, somit müsste die Bedingung doch immer gelten?
Ich versuche das Problem an dem Beispiel $$f_n: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}: x \rightarrow x^{2n}$$ nach zu vollziehen. Es gilt ja
$$|x| < 1 ⇒ f_n(x) → 0$$
$$|x| = 1 ⇒ f_n(x) → 1$$
$$|x| > 1 ⇒ f_n(x) → ∞$$
Somit konvergiert z.B f_n(1/2) gegen 0, d.h. f(1/2) = 0. Außerdem gilt auch fn(2) konvergiert gegen ∞ und (2) = ∞. Das Prinzip gilt für alle x-Werte, also müsste die Folgenfunktion punktweise konvergent sein, was sie aber laut Skript nicht ist.
Was habe ich also an der Definition falsch verstanden?
