Wie kann ich überprüfen ob meine Ebenengleichung stimmt?

Question

Ich habe 3 Punkte gegeben mit A(1/0/3), B(0/2/1) und C(2/2/4). Daraus soll ich eine Ebenengleichung, in Parameterform bestimmen.

Hab ich gemacht und kam auf :

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E : x  = (  1 0 3) + a*(-1 2 -2) + b*( 1 2 1)

Jetzt zu meiner Frage : Wie kann ich überprüfen, ob meine Ebenengleichung stimmt? Mit einer Punktprobe hat es nicht geklappt und alles in die Koordinatenform zu bringen und dann zu schauen ob die Richtungsvektoren in der Ebenen liegen klappte auch nicht.

Danke.

Answer 1

[1, 0, 3] ist dein Ortsvektor

[1, 0, 3] + [-1, 2, -2] = [0, 2, 1] Ist ein weiterer Punkt

[1, 0, 3] + [1, 2, 1] = [2, 2, 4] ist der dritte gegebene Punkt.

Damit ist deine Ebenengleichung völlig richtig.

Answer 2

E : x  = (  1 0 3) + a*(-1 2 -2) + b*( 1 2  1)

Punktproben:  für A    a=0 und b=0

                       für B    a=1 und b=0

                       für C   a=0 und b=1

klappt doch prima!

Comments

Was ist wenn ich die Koordinatenform gegeben habe? Kann ich dann nicht einfach schauen ob der Aufpunkt und die Spannvektoren auf der Ebenen liegen?

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Aufpunkt ja, aber bei den Spannvektoren musst du

etwas vorsichtig sein, die kannst du  nicht einfach in die

Koordinatenform einsetzen, du musst die Konstante

weglassen und schauen, ob 0 rauskommt.

Wenn du etwa hast

 E = 2x + 3y - 7z = 4

und hast einen Spannvektor

2
1
1

Dann setzt du ein und rechnest

2*2 + 3*1 -7*1

und das 0 ergibt, ist der

Spannvektor richtig.

Das hängt zusammen mit den sog.

Normalenvektoren.

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Wenn du die Koordinatenform der Ebene hast, kannst du die Koordinaten der Punkte einsetzen, z.B.

$$E: 6x-y-4z = -6\\ \text{Koordinaten von A einsetzen }\\ 6\cdot 1-1\cdot 0-4\cdot 3 = -6$$

Das Gleiche kannst du auch mit B und C machen.

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Aber warum muss ich die Konstante nach rechts ziehen?

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Musst du nicht, du kannst auch

6•1 - 1•0 - 4•3 + 6 = 0 rechnen.

Die allgemeine Form einer Ebene in Koordinatenform ist jedoch

a_x1+ b_x2 + c_x3 = d