Zeigen Sie, dass dim(Abb(R)) = ∞

Question

Aufgabe:

Gegeben sei folgender R-Vektorraum Abb(R) = {f | f : R →
R}. Zeigen Sie, dass dim(Abb(R)) = ∞

Answer 1

Zeige mit vollständiger Induktion, dass für alle natürlichen Zahlen n die Familie der Polynomfunktionen

$$(1,x,...,x^{n-1},x^n)$$

linear unabhängig ist. Daraus folgt dann direkt die Behauptung.

Answer 2

Betrachte etwa für alle n ∈  ℕ  die Abbildungen:

f_n : R → R  mit f_n(x) = x^n

Die sind lin. unabhängig und es sind unendlich viele.