Lineare Abhängigkeit und Unabhängigkeit

Question

Aufgabe:

a) Begründen Sie: Die Vektoren e1, e2, e3 in Fig. 1 sind linear unabhänigig.

b) Stellen SIe jeden der Vektoren OP, E1Q, E2R, E3S als Linearkombination der Vektoren e1, e2, e3, dar.

c) Begründen Sie:

Jeweils drei der Vektoren OP, E1Q, E2R, E3S sind lineare UnAbhänig.

d) Stellen Sie jeden der Vektoren OP, E1Q, E2R, E3S als Linearekombination der derei anderen dar.

e_{1 , 2} ; OP... das sind alle Vektoren

Eigentliche Bezeichnungen:

E1Q = E₁ Q

E2R = ....

Comments

Was sind "Vekotren"?

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bearbeitet, danke!

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Wow, bin beeindruckt! :-)

Answer 1

a) Begründen Sie: Die Vekotren e1, e2, e3 in Fig. 1 sind linear abhänigig.

Das wird schwer. Ich denke diese Vektoren sind Linear unabhängig

a * e1 + b * e2 + c * e3 = 0 hat nur die Triviallösung a = b = c = 0

b) Stellen SIe jeden der Vekotren 

OP = e1 + e2 + e3

E1Q = - e1 + e2 + e3

E2R = e1 - e2 + e3

E3S = e1 + e2 - e3

als Linearkombination der Vektoren e1, e2, e3, dar.

Comments

Dankeschön, ich habe das un- veregssen gehabt.

Wie könnte man dann c und d daratellen bzw. erklären und a ??

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Könntest du mir erkklären warum a = b=c =0 ist?

Könnteast du mir es bitte reklären:

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3 Vektoren sind linear unabhängig, wenn sie einen Raum aufspannen und linear abhängig, wenn sie nur in einer Ebene liegen.

Du kannst dir dazu die Vektoren skizzieren und zeigen, das sie einen Raum aufspannen.

Z.b. spannen e1 und e2 eine Ebene auf und nicht nur eine Gerade. Das solltest du sehen können. Du siehst auch das e3 nicht in dieser Ebene liegt sondern dass die 3 Vektoren einen Raum bilden.

Also stell dir einfach die Vektoren so vor als wenn sie in einem Punkt starten. Und schau ob sie eine Gerade, Ebene oder einen Raum bilden.

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könntest du mir bitte ncoch bei c und d helfen...

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Also stell dir einfach die Vektoren so vor als wenn sie in einem Punkt starten. Und schau ob sie eine Gerade, Ebene oder einen Raum bilden.

Zeichne die 4 Vektoren doch einfach mal von einem Punkt aus auf.

Das schaffst du. Du musst es nur mal probieren.

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Aber OP, E1Q und alle anderen sind im Raum. Wie soll ich denn bei den die lienare Una/Abnhägigkeit besstimmen?

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und ist d) nicht = b) ?? Das ist doch die gleiche Aufgabe?

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d) Stellen Sie jeden der Vektoren OP, E1Q, E2R, E3S als Linearekombination der derei anderen dar.

Ich mache das mal für OP vor.

OP = E1Q + E2R + E3S

Und wenn du jetzt etwas schlau bist, kannst du die anderen 3 Vektoren sogar angeben ohne einen Blick auf die Vektoren zu tun.

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WOw; Wie soll ich darauf kommen ?? ß

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@ MatheCouch 1/2 heißt ja rogendwie die Mitte, aber wie kommst du darauf ich komme nicht auf diesen Wge??

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E1Q = - e1 + e2 + e3
E2R = e1 - e2 + e3
E3S = e1 + e2 - e3

Addiere doch mal die obigen Gleichungen

E1Q + E2R + E3S = e1 + e2 + e3

OP = e1 + e2 + e3

Oh

OP = E1Q + E2R + E3S

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@ MatheCouch 1/2 heißt ja rogendwie die Mitte, aber wie kommst du darauf ich komme nicht auf diesen Wge??

Die 1/2 waren auch verkehrt. Hatte das ohne nachzudenken hingeschrieben.

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Wenn ich die addiere woher weiß ich jetzt das OP raus kommt?

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E1Q + E2R + E3S = e1 + e2 + e3

OP = e1 + e2 + e3

Wenn auf der rechten Seite der Gleichungen das gleiche steht und das daher gleich ist müssen auch die linken Seiten gleich sein. Altes Gesetz von Sherlock Holmes.

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Wie bekomme ich jetzt E2Q raus?

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Muss ich:

E2Q = E1Q +E3S+OP rechnen ?

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Probier es doch.

Aber ich glaube nicht.

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nein, sonder OP -E1Q-E3S = E2R

Ich habes verstanden danke. Noch eine Frage @MatheCouch ganz am Anfang wo du OP berechnet hast wie kommst du darauf das dass genau durch addieren OP ergibt es könnte j auch was anderes sein`..

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Schau doch mal in die Skizze. Wenn du in O bist und nach P möchtest wie kannst du dann gehen.

Du gehst entlang des Vektors e1, dann entlang des Vektors e2 und dann entlang des Vektors e3. Das macht

OP = e1 + e2 + e3

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genau; aber das beantowrtet ja die Frage c) nicht

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Du brauchst in c nur Argumentieren das jeweils 2 Vektoren eine Ebene bilden und der dritte Vektor nicht in dieser Ebene liegt, sodass die drei einen Raum aufspannen.