Eigenschaften K-linearer Abbildungen beweisen

Question

Sei f : V → W eine K-lineare Abbildung zwischen K-Vektorräumen V und W. Folgende Sachen müssen gezeigt werden:

∀U ⊆ V : U ≤ V ⇒ f(U) ≤ f(V);

∀H ⊆ W : H ≤ W ⇒ f^-1(H) = {v ∈ V | f(v) ∈ H } ≤ V

∀M ⊆ V : f(⟨M⟩) = ⟨f(M)⟩

 

Answer 1

∀U ⊆ V : U ≤ V ⇒ f(U) ≤ f(V)  .

Das ≤ ist wohl das Zeichen für "Untervektorraum" ?

Dann musst zum Nachweis von  f(U) ≤ f(V) zeigen

Sei  U ⊆ V  und   U ≤ V ==>

1. f(U) ⊆ f(V) , das ist aber klar, ist ja bei allen Abbildungen so.

2.  0 ∈  f(V)  .  Wegen   U ≤ V gilt  0 ∈ V und wegen der

Linearität f(0)=0, also     0 ∈  f(V)

3. Für alle x,y ∈  f(V)  folgt  x+y ∈  f(V) .

Seien also  x,y ∈  f(V) ==>  Es gibt a,b  x,y ∈ V

mit f(a) = x und f(b)=y .  Wegen  U ≤ V also

auch a+b  ∈ U.  Also f(a+b)  ∈ f(U) .

Wegen der Linearität gilt

 f(a+b) = f(a) + f(b) , also  f(a) + f(b)  ∈ f(U) .

4. Für alle y ∈  f(V)  und k ∈  K  gilt  k*y  ∈  f(V) .

Geht analog zu 3.

Comments

Lieben Dank!!!!