Kurvendiskussion von f(x)= 1/9x^{4}+2x^{2}

Question

Aufgabe:

f(x)= 1/9x^4+2x^2

Finden Sie die Nullstellen, Extremal- und Wendepunkte.

Problem/Ansatz:

Ich weiss im Grunde genommen, wie man eine Kurvendiskussion durchführt aber ich habe so meine Probleme mit dem Bruch. Ich bin um verständliche Erklärungen sehr dankbar.

Answer 1

f(x)= 1/9x^4+2x^2

Nullstellen:  1/9x^4+2x^2   = 0

Bei Problemen mit dem Bruch am besten: alles *9

               <=>  x^4+18x^2   = 0

                  <=> x^2 * ( x^2+18)  = 0

und weil die Klammer nie 0 wird einzige Lösung x=0 .

Versuche die anderen und melde dich ggf. wieder.

Comments

Vielen Dank. Die Nullstellen konnte ich berechnen. Allerdings bleibe ich nun bei den Extremal- und Wendepunkten hängen... Wenn ich die f'(x)=0 setze, bekomme ich keine x-Werte. Wie muss ich dann dort vorgehen?

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f '(x) = 4/9*x^3+ 4x = 0     | *9

 
          4*x^3+ 36x = 0

            4*x *( x^2 + 9 )  = 0

also auch wieder nur eine Lösung  x = 0 .

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Nach langem Proben habe ich nun die richtige Lösung bekommen. Vielen herzlichen Dank!!

Answer 2

1/9 ist ein Faktor, der beim Ableiten mitgeschleppt wird.

Wo genau ist dein Problem?

f '(x) = 4/9*x^3+ 4x

Answer 3

Funktion und Ableitungen
f(x) = 1/9·x^4 + 2·x^2
f'(x) = 4/9·x^3 + 4·x
f''(x) = 4/3·x^2 + 4

Verhalten im Unendlichen
lim (x → -∞) f(x) = ∞
lim (x → ∞) f(x) = ∞

Nullstellen f(x) = 0
1/9·x^4 + 2·x^2 = 1/9·x^2·(x^2 + 18) = 0 → x = 0 (2-fach und daher auch Extremum)

Extrempunkte f'(x) = 0
4/9·x^3 + 4·x = 4/9·x·(x^2 + 9) = 0 → x = 0 (mit VZW von - zu +)
f(0) = 0 → TP(0 | 0)

Wendepunkte f''(x) = 0
4/3·x^2 + 4 = 0 → Keine Lösung und daher keine Wendepunkte