Eine durch 11 teilbare Zahl \(\chi\) kann man schreiben als$$\chi = 11 x \quad x \in \mathbb{Z}$$ Hat sie die Quersumme 8 und ist zweizifferig, so kann man schreiben$$\chi = 10y + z \quad y+z = 8\\ \implies \chi = 9y + 8$$Beide Gleichungen zusammen ergeben die diophantische Gleichung$$11x - 9y = 8$$mit Hilfe des Euklidischen Algorithmus findet man für die Gleichung$$11x' - 9y' = 1$$eine Lösung \(x' = -4\), \(y'=-5\). Eine Multiplikation mit 8 ergibt dann eine mögliche Lösung \(x=-32\) und \(y=-40\).
Mit der Forderung, dass die Zahl zweizifferig ist, bleibt für das \(y\) nur ein Definitionsbereich von \(y \in [1,9]\). Dazu addiert man das Ergebnis mit einem ganzzahligen Vielfachen des Vektors \((9|11)\), was einer Addition der Ausgangsgleichung mit 0 entspricht.
Der Faktor \(k\) des Vielfachen ist so zu wählen, dass \(y\) gerade positiv wird. Also$$k = \lceil 40/11 \rceil = 4$$macht$$\begin{pmatrix} -32\\ -40\end{pmatrix} + 4 \cdot \begin{pmatrix} 9\\ 11\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4\\ 4\end{pmatrix}$$\(y = 4\) ergibt ein \(\chi\) von$$\chi = 9y+8 = 9 \cdot 4 + 8 = 44$$
