Additionstheorem für Sinus mittels Flächenvergleich zeigen

Question

Aufgabe:

Leiten Sie das Additionstheorem für die Sinusfunktion her, indem Sie im folgeden Bild Flächen vergleichen.

Problem/Ansatz:

Kann mir bitte jemand erklären, wie man hier das Additionstheorem sin(x+y) = sin(x)*cos(y) + cos(x)*sin(y) herleitet?

Vielen Dank.

Answer 1

x ist gamma1 und y ist gamma2

also sin(x) = p/b

cos(y)= h/a

cos(x) = h/b

sin(y)=q/a

also  sin(x)*cos(y) + cos(x)*sin(y)

      =   (p/b)*(h/a) + (h/b)*(q/a)

      = ph/(ab)  + hq/(ab)

        =( ph + hq ) /(ab)

       = h*(p+q) /  (ab)

          = h*c /  (ab)

Andererseits ist die Dreiecksfläche

A = 0,5*hc  oder auch   0,5*a*b*sin(x+y)

also ist  h*c /  (ab) = A/(ab) = sin(x+y) .

Answer 2

linke Teilfläche plus rechte Teilfläche = Gesamtfläche.

0,5*b*h*sin(γ1)+0,5*a*h*sin(γ2)=0,5*b*a*sin(γ1+γ2)

Nun gilt in der linken Teilfläche h=b*cos(γ1), und  in der rechten Teilfläche h=a*cos(γ2),

Ersetze nun in der obigen Gleichung das erste h durch a*cos(γ2) und das zweite h durch b*cos(γ1),

Teile dann die gesamte Gleichung durch (0,5*b*a).

Answer 3

γ1=x, γ2=y

h=b*cosx, h=a*cosy

p=b*sinx, q=a*siny

2*Fläche des Dreiecks : hq+hp=ab(sin(x)*cos(y)+sin(y)*cos(x))

Fälle die höhe  ha auf a

 dann gilt ha=b*sin(x+y) 2* Fläche des Dreiecks:  a*ha=a*b*sin(x+y)

und damit die Behauptung.

Dass man eine Hilfslinie braucht mit der man auf sin(x+y) kommt sollte "naheliegend " sein.

Gruß lul

Comments

Fläche des Dreiecks : hq+hp=ab(sin(x)*cos(y)+sin(y)*cos(x))

Schreibe mal lieber noch den fehlenden Faktor 0,5 dazu.