Mengen ( offen, abgeschlossen, Rand)

Question

Aufgabe:

1) Zeige dass A°∩ B° = (A∩B)° und folgere A^abg ∪ B^abg = (A ∪ B)^abg owie die jeweiligen
Analoga für endlich viele Teilmengen A₁ ,..., A_n ⊆ X.

2) Sei (X, d) ein metrischer Raum sowie M ⊆ X eine Teilmenge. Zeigen Sie:

 M und X\M haben den selben Rand also δM = δ(X\M))

Problem/Ansatz:

1) Ich kann zeigen, dass der Schnitt zweier offenen TM auch wieder offen ist, aber die obige Gleichheit verwirrt mich doch. Muss man dort "⊆" und "⊇" zeigen ? Und was ist mit dem 2. Teil des Satzes gemeint? Mir ist klar dass das nur für endliche Teilmengen gilt.

zu 2)Ich habe es mit direkt beweisen probiert, also δM = M^abg \ M° = ... aber bekam es auch nicht hin. Ist Fallunterscheidung mit M offen/abg hier die bessere Wahl?

Niveau:

Lehramt Mathe Studium

Freue mich auf Tipps und Tricks!

Answer 1

Ich kann zeigen, dass der Schnitt zweier offenen TM auch wieder offen ist.

Aber A° ist ja nicht irgendeine offene Menge, sondern das Innere von A.

 aber die obige Gleichheit verwirrt mich doch. 
Muss man dort "⊆" und "⊇" zeigen ?   gute Idee, etwa so:

Sei x ∈ A°∩ B° .

==>  x ∈ A° ∧ x ∈ B°

==>  Es gibt positive e1 und e2 mit der Eigenschaft

           U_e1(x) ⊆ A   und       U_e2(x) ⊆ B

             mit e = min(e1,e2) gilt dann

          U_e(x)  ⊆   U_e1(x)  und     U_e(x)  ⊆   U_e2(x)

          also auch     U_e(x) ⊆ A   und       U_e(x) ⊆ B

    also    Ue(x) ⊆ A  ∩ B. Damit gibt es eine Umgebung von x,

   die ganz in  A  ∩ B enthalten ist, also  x ∈ (A∩ B)° .

Umgekehrt entsprechend.

Sei x∈  (A∩B)°  ==> ……    ==>  x ∈ A°∩ B° .

Comments

Vom Aufbau her ähnelt es ja schon dem von mir genannten Beweis. Wahrscheinlich ist das also ein standardverfahren?

Zu 2 keine Idee? Ist mein Ansatz richtig bzw. komme ich damit zum Ziel?

---

Vielleicht kannst du wieder mit .. ⊆ .. und … ⊇ .. zeigen, dass

M^abg \ M° =    δ(X\M))   ist.   ???