Ist M offen, ist M abgeschlossen? Bestimme das Innere, Abschluss und Rand.

Question

Sei eine Menge M ⊆ ℝ² gegeben durch

M = {x = (x₁,x₂)^T ∈ ℝ | 0 < x₁² + x₂² < 4 und x₁ ≤ 1}.

(1) Ist M offen, ist M abgeschlossen?

(2) Bestimmen Sie das Innere, den Abschluss und den Rand von M.

Ansatz:

Hallo liebes Forum. Ich habe mir das ganze einmal bei Wolfram alpha plotten lassen und habe einen Kreis erhalten, der an der x-Achse bei 1 abgeschnitten ist.

zu (1) für 0 < x₁² + x₂² < 4, wäre M ja offen(da nur das Innere des Kreises in der Menge liegt, ohne Rand), aber wegen x₁ ≤ 1 ist Sie ja an der geschnittenen Gerade abgeschlossen(also Rand liegt in der Menge). Was genau bedeutet das nun?

zu (2) hier weiss ich jetzt nicht, ob es reicht das Innere, den Rand und den Abschluss einfach anzugeben.

Wenn ja, hätte ich:

für das Innere I = { x ∈ ℝ² | 0 < x₁² + x₂² < 4 und x₁ < 1}

für den Abschluss A = { x ∈ ℝ² | 0 ≤ x₁² + x₂² ≤ 4 und x₁ ≤ 1}

bei dem Rand weiss ich leider auch nicht weiter... auf jedenfall irgendwas mit x₁² + x₂² = 4 und x₁ = 1

Ich würde mich sehr über eure Hilfe freuen.^^

Answer 1

Hallo,

zuerst einmal die Anmerkung, dass für \(x=(x_1,x_2)\in\mathbb R^2\) ja gilt \(|x|^2=x_1^2+x_2^2\). D.h. wir können \(M\) auch schreiben als \(M=\{x=(x_1,x_2)\in\mathbb R^2\,|\,0<|x|<2\,,\,x_1\leq1\}\). So erkennt man evt einfacher, dass es sich um eine Art "abgeschnittenen" Kreis handelt. Beachte, dass \((0,0)\not\in M\).

zu (1): Für die Menge gibt es ja folgende Möglichkeiten:
(i) \(M\) ist weder offen noch abgeschlossen
(ii) \(M\) ist offen aber nicht abgeschlossen
(iii) \(M\) ist nicht offen aber abgeschlossen
(iv) \(M\) ist offen und abgeschlossen.

Intuitiv kann man sagen: \(M\) kann nicht offen sein, da der "rechte Rand" (also der Teil \(\{1\}\times(-\sqrt3,\sqrt3)\)) ja noch zu \(M\) gehört.
\(M\) kann auch nicht abgeschlossen sein, da sonst der entsprechende Teil des Kreisrandes und \((0,0)\) zu \(M\) gehören müssten.

Wenn du noch Probleme mit den Begriffen offen und abgeschlossen hast, lohnt es sich diese Behauptungen mal anhand der Definitionen zu zeigen.

zu (2): Ob es reicht die Mengen anzugeben weiß ich auch nicht, da müsstest du im Zweifel nochmal nachfragen.
Deine Angaben zum Inneren und Abschluss der Menge sind richtig. Ich bezeichne das Innere mal mit \(M^\circ\), den Abschluss mit \(\overline M\), den Rand mit \(\partial M\). Das sind auch die üblichen Bezeichnungen.
Es ist dann nach Definition \(\partial M=\overline M\backslash M^\circ\). An den Mengen kann man eigentlich sehr gut ablesen welche Menge das ist, bzw. auch am Bild ist der Rand gut erkennbar (es ist sicherlich einfacher den Rand als Vereinigung von Mengen zu schreiben).

Eine allgemeine Anmerkung noch zum Schluss: Es gilt

$$\begin{aligned}\text{M offen}&\Leftrightarrow M=M^\circ\\\text{M abgeschlossen}&\Leftrightarrow M=\overline M\end{aligned}$$

Das kann bei ähnlichen Aufgaben hilfreich sein.
Falls du zu Details noch Fragen hast helfe ich gerne weiter

LG Dojima

Answer 2

Zu (1):

\((1,0)\in M\), aber jede Umgebung von \((1,0)\) trifft Punkte aus \(M^C\),

dem Komplement von \(M\), d.h. der Punkt \((1,0)\) ist kein innerer Punkt von \(M\),

also ist \(M\) nicht offen.

Man hat \((0,0)\in M^C\), es liegt aber keine Umgebung von \((0,0)\) ganz in

\(M^C\), d.h. \((0,0)\in M^C\) ist kein innerer Punkt von \(M^C\),

folglich ist \(M^C\) nicht offen und damit \(M\) nicht abgeschlossen.