Aufgabe:
Sei $$A$$ die Menge aller Funktionen $$f \in C^0([0,1])$$ mit $$1 \leq f(t) \leq t+1$$ für alle t \in [0,1]. Zeigen Sie, dass die nichtlineare Integralgleichung $$f(t)-(\int_{0}^{t}\frac{f(\tau)}{2}d\tau)^2=1$$ für alle $$t \in [0,1]$$ eine Lösung in $$C^0([0,1])$$ besitzt, indem Sie das Problem in ein Fixpunktproblem für eine Abbildung $$F: A \rightarrow A$$ umwandeln.
Problem/Ansatz:
Leider ist mir die Umwandlung in ein Fixpunktproblem schleierhaft. Fixpunktprobleme fange ich gerade erst an zu verstehen.
Wäre $$F:C^0[0,1] \rightarrow C^0[0,1], f \rightarrow F(f):=f(t)-(\int_{0}^{t}\frac{f(\tau)}{2}d\tau)^2$$ die gesuchte Abbildung? Kann ich einfach schließen, dass dieser stetig ist? Wenn dem so ist, könnte ich schließen, dass ein F(g) nahe F(f) liegt, falls g nahe f liegt i.S.d. Supremumsnorm und abschätzen $$|F(g)-F(f)|$$. Kann es sein, dass dann t als Lipschitz-Konstante herauskommt, dieser ist kleiner 1?? und daher ist F kontrahierend?? Damit kann ich den Fixpunkt bestimmen und dieser ist die Lösung der Integralgleichung????
Ganz viele offene Fragen...
