Eigenwerte: a, +√(25-a^2) und -√(25-a^2) stimmt.
wenn die drei verschieden sind, ist A also sicherlich diagonalisierbar.
Bleiben die Fälle, bei denen mindestens zwei gleich sind:
die ersten beiden:
a = √(25-a^2)
==> a^2 = 25 - a^2
==> 2a^2 = 25
==> a = ±√12,5
Da +√(25-a^2) nicht negativ ist, bleibt hier a = √12,5 .
Also hätte man dann die Eigenwerte √12,5 und -√12,5 .(wegen des 3. )
Zur Bestimmung der Eigenvektoren zu betrachten für √12,5
5-5/2 *√2 -5/2 *√2 0
5/2 *√2 -5-5/2 *√2 0
1 -5 0
also mit Gauss:
1 -1-√2 0
0 1 0
0 0 0
also x3=t x2=0 x^1=t*(1+√2) also
Eigenvektoren t * (1+√2, 0 , 1).
Und zum anderen Eigenwert ist der Eigenraum auch
1-dimensional. Also nicht diagonalisierbar für a = √12,5 .
Bleibt der Fall : Von den dreien
a, +√(25-a^2) und -√(25-a^2) sind der erste und letzte gleich.
Das gibt auch nix.
Letzter Fall √(25-a^2) = -√(25-a^2)
a= ± 5 .
Für die Eigenvektoren im Fall a=5 gibt es die
Eigenwerte 5 und 0.
Für die 5 also zu betrachten
0 -5 0
5 -10 0
1 -5 0 mit Gauss also
1 -2 0
0 1 0
0 0 0
==> x3 = t x2=0 x1 = 2t
==> Eigenvektoren t*( 2 ; 0 ; 1 )
und der andere EW ist ja dann 0 , aber
mit Gauss zeigt sich: Auch der Eigenraum ist 1-dim,
also nicht diagonalisierbar.
Und bei a=-5 wohl auch n icht.
Fazit:
Immer diagonalisierbar, außer für a=±5 und für a = ±√12,5 .
Unter Beachtung des Kommentars (Definitionsbereich für a) sogar:
außer für |a|≥5 und für a = ±√12,5 .
