Quadratische Pyramide mit Höhe

Question

Aufgabe:

A(4/2/0)

B(10/-6/0)

D(12/8/0)

Sind Basiseckpunkte einer geraden quadratischen Pyramide mit Höhe h=10

Problem/Ansatz:

Welchen Winkel schließen die Ebenen ABS und ADS miteinander ein?

Für die ausführliche Antwort bin ich sehr dankbar

Vielen Dank !

Answer 1

AB = [6, -8, 0] ; AD = [8, 6, 0]

S = A + 1/2·AB + 1/2·AC + [0, 0, 10] = [11, 1, 10]

AS = [7, -1, 10]

NABS = AB ⨯ AS = [-80, -60, 50] = 10·[-8, -6, 5]
NADS = AD ⨯ AS = [60, -80, -50] = 10·[6, -8, -5]

α = ACOS([-8, -6, 5]·[6, -8, -5]/(ABS([-8, -6, 5])·ABS([6, -8, -5]))) = 101.5°

Answer 2

Erst mal die Ebene durch A ,B und D .

Das ist E:    z=0   (Denn die liegen ja alle in der xy-Ebene.)

Quadratmittelpunkt ist M = ((10/-6/0)+(12/8/0))  / 2 = (11 / 1 / 0 )

und wegen Höhe 10 ist S= (11 / 1 / 10 )   [ oder  (11 / 1 / -10 ) ].

Nehmen wir mal den ersten, dann ist  die Ebene ABS

E : 8x + 6y  -5z = 44   und ADS  ist

F:  6x - 8y  -5 = 8

Die Normalenvektoren also

(8; 6; -5) und  ( 6 ; -8 ; -5 ) mit dem Skalarprodukt 25.

Also 25 durch das Produkt der Längen gibt den cos des Winkels.