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Partielle Elastizitäten
Um die gestellten Fragen zu beantworten, müssen wir uns zuerst mit dem Konzept der partiellen Elastizität befassen. Die partielle Elastizität misst, wie sensibel die abhängige Variable (hier: der Produktion-Output) auf eine Veränderung einer unabhängigen Variable (hier: Arbeit A oder Kapital K) reagiert, während die andere unabhängige Variable konstant gehalten wird.
Für eine Produktionsfunktion \(f(A,K)\) definiert sich die partielle Elastizität der Produktion in Bezug auf Arbeit \(A\) als:
\(
\epsilon_{f,A} = \frac{\partial f(A,K)}{\partial A} \times \frac{A}{f(A,K)}
\)
und in Bezug auf Kapital \(K\) als:
\(
\epsilon_{f,K} = \frac{\partial f(A,K)}{\partial K} \times \frac{K}{f(A,K)}
\)
Gegeben ist die Produktionsfunktion:
\(
f(A,K) = 2,5 \cdot A^{0,6} \cdot K^{0,4}
\)
(a) Veränderung des Produktion-Outputs durch Arbeitserhöhung
Zuerst berechnen wir die partielle Ableitung von \(f\) nach \(A\), um die partielle Elastizität der Arbeit zu ermitteln:
\(
\frac{\partial f(A,K)}{\partial A} = 2,5 \cdot 0,6 \cdot A^{0,6-1} \cdot K^{0,4} = 1,5 \cdot A^{-0,4} \cdot K^{0,4}
\)
Dann setzen wir in die Formel der partiellen Elastizität bezüglich der Arbeit ein:
\(
\epsilon_{f,A} = 1,5 \cdot A^{-0,4} \cdot K^{0,4} \times \frac{A}{2,5 \cdot A^{0,6} \cdot K^{0,4}} = 0,6
\)
Da die Elastizität unabhängig von spezifischen \(A\) und \(K\) Werten ist, folgt, dass eine 2%ige Erhöhung des Arbeitseinsatzes zu einer \(0,6 \times 2\% = 1,2\%\)-igen Erhöhung des Outputs führt.
(b) Veränderung des Produktion-Outputs durch Kapitalerhöhung
Nun berechnen wir die partielle Ableitung von \(f\) nach \(K\), um die partielle Elastizität des Kapitals zu ermitteln:
\(
\frac{\partial f(A,K)}{\partial K} = 2,5 \cdot 0,4 \cdot A^{0,6} \cdot K^{0,4-1} = 1 \cdot A^{0,6} \cdot K^{-0,6}
\)
Dann setzen wir in die Formel der partiellen Elastizität bezüglich des Kapitals ein:
\(
\epsilon_{f,K} = 1 \cdot A^{0,6} \cdot K^{-0,6} \times \frac{K}{2,5 \cdot A^{0,6} \cdot K^{0,4}} = 0,4
\)
Somit führt eine 2%ige Erhöhung des Kapitaleinsatzes zu einer \(0,4 \times 2\% = 0,8\%\)-igen Erhöhung des Outputs.
(c) Absolute Änderung der Produktionsfunktion
Das totale Differential der Produktionsfunktion an einem Punkt gibt uns die absolute Änderung:
\(
d f(A, K) = \left( \frac{\partial f}{\partial A} \right) dA + \left( \frac{\partial f}{\partial K} \right) dK
\)
Mit \(A = 1, K = 1\) und den partiellen Ableitungen erhalten wir:
\(
\begin{aligned}
\frac{\partial f}{\partial A} &= 1,5 \cdot A^{-0,4} \cdot K^{0,4} = 1,5 \\
\frac{\partial f}{\partial K} &= 1 \cdot A^{0,6} \cdot K^{-0,6} = 1
\end{aligned}
\)
Die Werte \(dA\) und \(dK\) entsprechen den absoluten Änderungen in \(A\) und \(K\). Möchte man spezifische Werte von \(dA\) und \(dK\) einsetzen, könnte man die absoluten Änderungen direkt berechnen. Ohne spezifische Änderungen vorgegeben, lautet die allgemeine Form der absoluten Änderung an der Stelle \(A = 1, K = 1\):
\(
d f(1, 1) = (1,5) dA + (1) dK
\)
Damit hängt die absolute Änderung von den spezifischen \(dA\) und \(dK\) ab.
