Finden Sie a, b ∈ ℝ, so dass \( \sqrt{t^2 + 1} \)= a * f ' (t) + b * g ' 1(t) gilt.

Question

! Habe leider ein kleines Problem! =(

Aufgabe: Für α ∈ ℝ definieren wir die Funktion f und gα von (0, ∞) nach ℝ durch f(t):= In(t + \( \sqrt{t^2 + 1} \) und

gα(t):= t^α * \( \sqrt{t^2 + 1} \). Hinweis: bei gα steht das α etwas weiter unten, habe das leider nicht anders hinbekommen.

Finden Sie a, b ∈ ℝ, so dass \( \sqrt{t^2 + 1} \)= a * f ' (t) + b * g ' 1 (t) gilt. Hinweis: bei g 1 stehen und 1 untereinander.

Problem/Ansatz:

… Ich weiß, dass ich f und gα ableiten muss, habe da aber bereits Probleme. Erstmal weil bei f ein Integral ist und bei gα würde ich zu g ' 1 = 1* (1/ \( \sqrt{t^2 + 1} \) ) * 2 ableiten. Keine Ahnung, ob das stimmt. Wäre über etwas Hilfe sehr dankbar! =)

Answer 1

Hallo

ga(t) ableiten nach der Produktregel:

g'=a*t^a-1*√(t^2+1)+t^a*t/√(t^2+1)

steht bei f wirklich ein Integral? geschrieben hast du ln das ist der natürliche Logarithmus also log_e, dann ist die Ableitung f'=1/((t + √(t^2+1))  +1+t/√(t^2+1)

Gruß lul

Comments

danke für die Hilfe!

Ich glaube das bei f ein Integral gemeint ist, weil auf meinem Übungsblatt steht, dass uns diese Aufgabe bei der Berechnung von Integralen in der nächsten Aufgabe helfen soll. 

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Hallo

wenn da ln steht ist es sicher kein Integral! Die Ableitung einer Funktion zu kennen hilft dir beim Integrieren sehr! das ist wohl gemeint.

Gruß lul

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Okay, vielen Dank! =)

Ich möchte nicht nerven aber ich hätte da noch eine Frage:

und zwar möchte ich nun auch a und b bestimmen. Habe dafür bereits \( \sqrt{t^2 + 1} \) vereinfacht damit die Wurzel weg ist und mit a* f (t) + b * g 1(t) gleichgesetzt (zuvor habe ich natürlich noch gα zu g`1 (t) = 1*\( \sqrt{t^2 + 1} \) + 1*\( \sqrt{t^2 + 1}\) abgeleitet). Jetzt weiß ich aber nicht mehr weiter, wie ich a und b bestimmen soll. =(

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deine ableitung für g sieht etwas misslungen aus
ansonsten bringe alles auf einen nenner \( \sqrt{t^2 +1} \) und multipliziere dann beide seiten mit eben diesem