Antwort mit KI erzeugt
Funktionsgraphen von \(f(x)\) zeichnen
Um zu entscheiden, ob es sich bei den gegebenen Mengen um den Funktionsgraphen einer Funktion \(y = f(x)\) handelt und gegebenenfalls \(f\) sowie Definitions- und Wertebereich anzugeben, betrachten wir jede Menge einzeln.
a) {(x,y) : \(x^2 + y^2 = 1\)}, {(x,y) : \(x^2 + y^2 = 1\) und \(x \geq 0\)}, {(x,y) : \(x^2 + y^2 = 1\) und \(y \geq 0\)}.
- Die Gleichung \(x^2 + y^2 = 1\) beschreibt einen Kreis mit Mittelpunkt im Ursprung (0,0) und einem Radius von 1. Diese Menge ist kein Funktionsgraph von \(y = f(x)\), da für ein gegebenes \(x\) (außer für \(x = 0\) und \(x = \pm1\)) zwei Werte von \(y\) existieren (ein positiver und ein negativer Wert), was gegen die Definition einer Funktion verstößt.
- Die Einschränkung \(x^2 + y^2 = 1\) und \(x \geq 0\) beschreibt den rechten Halbkreis. Auch dies ist kein Funktionsgraph von \(y = f(x)\), da für ein gegebenes \(x\) (außer \(x = 0\) und \(x = 1\)) zwei Werte von \(y\) existieren.
- Die Einschränkung \(x^2 + y^2 = 1\) und \(y \geq 0\) beschreibt den oberen Halbkreis. Dies kann als der Graph einer Funktion betrachtet werden, da jedem \(x\) genau ein \(y\) zugeordnet wird. In diesem Fall ist \(f(x) = \sqrt{1 - x^2}\). Der Definitionsbereich ist \([-1, 1]\), und der Wertebereich ist ebenfalls \([0, 1]\).
b) {(x,0) : \(x \in \mathbb{R}\)}, {(0,y) : \(x \in \mathbb{R}\)}, {(x,x) : \(x \in \mathbb{R}\)}.
- Die Menge {(x,0) : \(x \in \mathbb{R}\)} beschreibt die x-Achse. Dies ist der Funktionsgraph von \(f(x) = 0\). Der Definitionsbereich ist \(\mathbb{R}\), und der Wertebereich ist \({0}\).
- Die Menge {(0,y) : \(x \in \mathbb{R}\)} scheint einen Fehler zu enthalten, da \(x\) hier irrelevant ist. Es sollte wahrscheinlich {(0,y) : \(y \in \mathbb{R}\)} heißen, was die y-Achse beschreibt. Diese Menge ist kein Funktionsgraph von \(y = f(x)\), da sie nicht jedem \(x\)-Wert genau einen \(y\)-Wert zuordnet.
- Die Menge {(x,x) : \(x \in \mathbb{R}\)} ist der Funktionsgraph von \(f(x) = x\). Der Definitionsbereich und der Wertebereich sind beide \(\mathbb{R}\).
c) {(x^{2},x) : \(x \in \mathbb{R}\)}, {(x,x^2) : \(x \in \mathbb{R}\)}.
- Die Menge {(x^{2},x) : \(x \in \mathbb{R}\)} ist kein Funktionsgraph von \(y = f(x)\), da sie jedem Wert von \(y\), der ungleich Null ist, zwei Werte von \(x\) zuordnet (einen positiven und einen negativen), was gegen die Definition einer Funktion verstößt.
- Die Menge {(x,x^2) : \(x \in \mathbb{R}\)} hingegen ist der Funktionsgraph von \(f(x) = x^2\). Der Definitionsbereich ist \(\mathbb{R}\), und der Wertebereich ist \([0, \infty)\), da \(x^2\) niemals negativ ist.
