Polynomdivision mit Parameter c. f(x)= x^4 - cx^2 + 4 ( c - 4)

Question

hab da ein kleines Problem mit der Polynomdivision und einer Unbekannten. Aufgabe lautet:

x⁴ - cx² + 4 ( c - 4) , Nullstelle ist -2. Hab das ganze dann erstmal zu x4 - cx^2 + 4c - 16 aufgelöst und dann versucht die Polynomdivision anzuwenden. Allerdings komm ich immer nur bis zu x³ + 2x² . Dann bekomm ich Probleme mit der Unbekannten.

 

Hoffe jemand kann mir helfen.

Answer 1

Hi,

darf ich fragen worauf Du hinaus willst?

Nullstellenbestimmung?

Dann ein Alternativvorschlag:

x^4-cx^2+4c-16 = x^4-16 - c(x^2-4) = (x^2-4)(x^2+4) - c(x^2-4) = (x^2-4) * (x^2+4-c)

Die Nullstellen sind nun recht leicht zu bestimmen ;).

 

Wenn Du aber dennoch auf die Polynomdivision bestehst, so sei Dir gesagt, dass es bisher x^3-2x^2 heißen muss.

Im Folgenden erhältst Du dann unter anderem: 4x^2-cx^2, der nächste Summand ist als (4-c)x.

 

Insgesamt dann: x^3-2x^2+(4-c)x+(-8+2c)

 

Grüße

Comments

Vielen dank!

Sollten die Nullstellen mithilfe der Polynomdivision bestimmen. Wusste nicht, dass man auch (4-c)x und (-8+2c) schreiben darf. Rest sollte ich dann lösen können.

---

Da eine Unbekannte dabei ist, ist das ein Weg ;).

Viel Spaß dabei. Wenn noch wo hängen bleibst, gib Bescheid.

Kannst Dir ja den Alternativweg dennoch anschauen ;).

Answer 2

Falls keine Polynomdivision vorgegeben ist:

\(x^4 - cx^2 + 4 ( c - 4)=0\)

\(x^4 - cx^2+\frac{c^2}{4} =16-4c+\frac{c^2}{4}\)

\((x^2 - \frac{c}{2})^2 =16-4c+\frac{c^2}{4}=\frac{1}{4}(c^2-16c+64)=\frac{1}{4}(c-8)^2|±\sqrt{~~}\)

\(x^2 - \frac{c}{2}=\frac{1}{2}\sqrt{(c-8)^2}\)                                          

\(1.)\)

\(x^2 - \frac{c}{2}=\frac{1}{2}\sqrt{(c-8)^2}\)   

\(x^2 = \frac{c}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{(c-8)^2}\)    Nullstelle bei \(x=-2\):

\(4 = \sqrt{\frac{c}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{(c-8)^2}}\)     

\( c ≤  8  \)

\(2.)\)

\(x^2 - \frac{c}{2}=-\frac{1}{2}\sqrt{(c-8)^2}\)   Nullstelle bei \(x=-2\):

\(4 =\frac{c}{2}-\frac{1}{2}\sqrt{(c-8)^2}\)

\(c≥8\)

Aus \(1.)\) und \(2.)\) folgt \(c=8\)

Aus der Symmetrie des Graphen der Funktion \(x^4 - cx^2 + 4 ( c - 4)=0\) kann nun gefolgert werden, dass die 2. Nullstelle bei  \(x=2\) liegt. (Diese Erkenntnis wäre auch gleich am Anfang möglich gewesen)

\(f(x)=x^4 - 8x^2 + 16\)

\(f´(x)=4x^3 - 16x\)

\(4x^3 - 16x=0\)    \(x^3 - 4x=0\)

(x_1=0\)     \(f(0)= 16\)

\(x^2=4\)

\(x_2=-2\)      \(f(-2)=16 -32 + 16=0\)

\(x_3=2\)      \(f(2)=16 -32 + 16=0\)

Da nun Extremwerte bei \(x=-2 \) und bei  \(x=2 \) vorliegen, sind es auch doppelte Nullstellen.

Somit existiert keine weitere Nullstelle.

Comments

f(x) ist für c = 5

f(x) = x^4 - 5·x^2 + 4·(5 - 4) = x^4 - 5·x^2 + 4

und hat die Nullstellen x = -2 ∨ x = 2 ∨ x = -1 ∨ x = 1

Vergiss also lieber schnell das c = 8 folgt.

Wenn du schon uralte Fragen nochmals hochholst und dann so unsachgemäß beantwortest ist das leider nur Schade.

Answer 3

Wenn die Funktion f(x)= x^4 - cx^2 + 4(c-4) eine Nullstelle bei x = -2 hat, dann definitiv auch symmetrisch bei x = 2.

Wenn man schon eine Polynomdivision macht, dann kann man die auch gleich durch (x + 2)(x - 2) = x^2 - 4 durchführen

(x^4 - cx^2 + 4c - 16) : (x^2 - 4) = x^2 - c + 4

Für die restlichen Nullstellen lösen wir also einfach nach x auf

x^2 - c + 4 = 0
x^2 = c - 4
x = ± √(c - 4) für c ≥ 4

Eine Faktorzerlegung wäre daher

x^4 - cx^2 + 4c - 16 = (x + 2)(x - 2)(x^2 - c + 4) bzw.
x^4 - cx^2 + 4c - 16 = (x + 2)(x - 2)(x + √(c - 4))(x - √(c - 4))

Übrigens noch als Tipp. Statt der Polynomdivision kann man auch das etwas einfachere Horner Schema benutzen. Dann allerdings der Einfachheit wegen mit beiden Nullstellen getrennt.

Hier nur für x = -2

1	0	-c	0	4c - 16
0	-2	4	2c - 8	16 - 4c
1	-2	4 - c	2c - 8	0

Also

(x^4 - cx^2 + 4(c-4)) : (x + 2) = x^3 - 2x^2 + (4 - c)x + (2c - 8)