Vektorgeometrie: Schnittgerade zweier Ebenen (Spezialfall)

Question

Aufgabe: Die Ebene En lautet: E: (x, y, z) = (3, 5, 6) + t1* (1, 1, 0) + t2 * (-2, 0, -1)

Berechnen Sie die Parametergleichung der Schnittgeraden s der Ebene En mit der Ebene Exy.

Problem/Ansatz:

Ich verstehe einfach nicht wie ich das Gleichungssystem am besten lösen soll. Ich setze die Ebene En mit (x, y, 0) gleich.

Comments

Vom Duplikat:

Titel: Vektorgeometrie: Schnittgerade zwischen zwei Ebenen (Spezialform)

Stichworte: schnittgerade,ebene,vektoren,ebenengleichung

Aufgabe:

Die Ebene En lautet: E: (x, y, z) = (3, 5, 6) + t1* (1, 1, 0) + t2 * (-2, 0, -1)


Berechnen Sie die Parametergleichung der Schnittgeraden s der Ebene En mit der Ebene Exy.

Problem/Ansatz:

Ich verstehe einfach nicht, wie ich das Gleichungssystem am besten lösen soll. Ich setze die Ebene En mit (x, y, 0) gleich.

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Ups, da ist mir wohl zwei mal die gleiche Aufgabe ins Forum gestellt worden.

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Hallo

Verstehe deine Schwierigkeiten nicht.z.B. Erste Gl

3+t1-2t2=1: entsprechend die anderen.

Gruß lul

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Und wieso gleich 1???

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Wenn ich meine Ebenen gleichsetze, dann bekomme ich:

x = t1-9

y = t1+5

t2 = 6

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Könntest du mir das bitte ganz genau erklären. Ich bin seit 2 Tagen an dieser Aufgabe dran...

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Hallo

Meine Gleichung für die x Koordinaten links und rechts,links mit den t,rechts steht bei x doch 1,daher die 1 bei der y Koordinate auch 1 bei der z Koordinate 0.

Gruß lul

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Wieso muss man 1 nehmen? Muss man nicht (x, y, 0) nehmen für die XY-Ebene???

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1 war falsch aber da steht ja (x,y,z)=s(1,1,0), statt s auch t3

lul

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Du ersetzt einfach das x durch 1?

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Jetzt verstehe ich gar nichts mehr. Du kannst doch nicht einfach eine Variable durch 1 ersetzen um dieses Gleichungssystem zu lösen?

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Du warst zu schnell,ich hab es verbessert

lul

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Kannst du mir nicht einfach genau alle Schritte zeigen, damit ich deinen Weg nachvollziehen kann. Solche Einzelschritte machen es mir echt schwer zu verstehen, was du genau willst.

Answer 1

alle Punkte der xy-Ebene haben die gemeinsame Eigenschaft, dass ihre z-Koordinate 0 ist. Selbige Forderung müssen natürlich auch alle Punkte der Schnittgerade zwischen irgendeiner Ebene und der xy-Ebene erfüllen.

Die z-Koordinate aller Punkte deiner Ebene E hat die Form 6+0*t₁-1*t₂ (kurz: 6-t₂), und dass soll 0 ergeben. Daraus ergibt sich ZWINGEND, dass t₂=6 sein muss.

Alle Punkte, die nicht nur in E, sondern auch in der xy-Ebene liegen, lassen sich somit durch

(x, y, z) = (3, 5, 6) + t₁* (1, 1, 0) + 6 * (-2, 0, -1) darstellen.

Das vereinfacht sich zu

(x, y, z) = (-9, 5, 0) + t₁* (1, 1, 0) und ist bereits eine Geradengleichung (es ist sogar die Gleichung der Schnittgerade).

Comments

In meiner Lösung steht:

s = (x, y, z) = (10, 0, 0) + ts* (1, 1, 0)

Wie kommt mein Lehrer auf diese Schnittgerade?

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Der Punkt (10|0|0) liegt nicht in E.

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Hallo Atorian,

s = (x, y, z) = (10, 0, 0) + ts* (1, 1, 0)

Wie kommt mein Lehrer auf diese Schnittgerade?

das wissen wir auch nicht! Fakt ist, dass die Gerade $$s^*: \space \vec{x} = \begin{pmatrix}10\\ 0\\ 0\end{pmatrix} + t_s\begin{pmatrix}1\\ 1\\ 0\end{pmatrix}$$nicht in der Ebene $$E: \space \vec{x} = \begin{pmatrix}3\\ 5\\ 6\end{pmatrix} + t_1 \begin{pmatrix}1\\ 1\\ 0\end{pmatrix} + t_2\begin{pmatrix}-2\\ 0\\ -1\end{pmatrix} $$liegt. Wie folgende Szene zeigt:

\(s^*\) (rot) liegt außerhalb der Ebene \(E\) (grün). Die Lösung von abakus (s.o.) ist die schwarze Gerade.