Aufgabe:
Die Menge M(n,K) der n×n-Matrizen über dem Körper K bildet zusammen mit der Matrixaddition und der skalaren Matrixmultiplikation einen Vektorraum. Eine n×n-Matrix A mit den Einträgen aij, 1 ≤ i,j ≤ n, heißt symmetrisch, wenn für alle 1 ≤ i ≤ j ≤ n gilt, dass aij = aji. Eine Matrix heißt schiefsymmetrisch, wenn für alle 1 ≤ i ≤ j ≤ n gilt, dass aij = −aji. Sei S(n,K) die Menge der symmetrischen n×n-Matrizen über K und T(n,K) die Menge der schiefsymmetrischen n×n-Matrizen über K.
a) Zeigen Sie, dass T(n,K) einen Untervektorraum von M(n,K) bildet.
b) Bestimmen Sie die Dimension von T(n,K) und begründen Sie ihre Aussage.
c) Geben Sie für T(4,R) eine Basis an.
d) Zeigen Sie, dass M(n,K) = S(n,K)⊕T(n,K).
