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Gegeben ist die Funktion 

f : x → \( \frac{1}{10} \) x5 – \( \frac{1}{2} \) x,                 x ∈ ℝ

Aufgabe:

"Führen Sie eine vollständige Funktionsuntersuchung nach dem Elf-Punkte-Schema durch und Fertigen Sie die Gleichungen der Wendetangenten an"

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"Elf-punkte-Schema":

1. Bestimmung der maximalen Definitionsmenge. (Die Wertemenge sollte zu Beginn nur bestimmt werden, falls sie einfach zu erkennen und für die weitere Untersuchung nützlich ist.)

2. Globales Verhalten der Funktion für sehr kleine und sehr große x-Werte.

Ich habe: für x → – ∞    : f(x) → – ∞. und für x → +∞      : f(x) → +∞

3. Bestimmung der Symmetrie, ob die Funktion achselsymmetrisch zur y-Achse oder punktsymmetrisch zum  Ursprung ist (oder ob andere aussagen zur Symmetrie gemacht werden können.)

f(x) = \( \frac{1}{10} \) x5 – \( \frac{1}{2} \) x

f(–x) = – \( \frac{1}{10} \) x5 + \( \frac{1}{2} \) x
–f(x) = – \( \frac{1}{10} \) x5 + \( \frac{1}{2} \) x
  f(x) ≠ f(–x)
–f(x) = f(–x): Punktsymmetrisch zum Ursprung.

4. Bestimmung der Nullstellen und der Art der Nullstellen (ob mit / ohne NZW)

\( \frac{1}{10} \) x5 – \( \frac{1}{2} \) x = 0 ⇔ x ( \( \frac{1}{10} \) x4 – \( \frac{1}{2} \) )= 0 

x1= 0, x2= –1.495, x3= 1,495 mit/ohne VZW???

5. Bestimmung des Schnittpunktes mit der y-Achse.

f(0)= \( \frac{1}{10} \) • 05 – \( \frac{1}{2} \) • 0 ⇔ y = 0

6. Bestimmung der 1., 2. und 3. Ableitung.

f(x) = \( \frac{1}{10} \) x5 – \( \frac{1}{2} \) x ; f'(x) = \( \frac{1}{2} \) x4 – \( \frac{1}{2} \) ; f''(x) = 2x3 ; f'''(x) = 6x

7. Bestimmung der Extrempunkte.


8. Bestimmung der Wendepunkte und gegebenenfalls Sattelpunkte.


9. Erstellung einer Wertetabelle für den interessanten Bereich der Funktion, in der Nähe der zuvor gefundenen Nullstellen sowie der Hoch-, Tief- und Wendepunkte.


10. Bestimmung der Wertemenge, falls nicht schon zu beginn erfolgt.


11. Zeichnen des Graphen der Funktion. :Das kriege ich hin 

vollständige Funktionsuntersuchung und Wendetangenten an Graph von f(x) = 1/10 x^5 - 1/2 x

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Könnte mir jemand es mir vorrechnen, oder mir mit den übergebliebenen punkte helfen? Ich brauche auch hilft bei der Befertigung der Gleichungen der Wendetangenten..

Vielen Dank im voraus!

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Es heißt "Wertemenge" und nicht "Wartemenge" usw. Soll ich das berichtigen?

1 Antwort

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Beste Antwort

1) D = R

2, 3 und 4 sind richtig. Bei allen Nullstellen findet ein Vorzeichenwechsel statt

5 und 6 snd richtig

7. Zur Bestimmung der Extrempunkte setzt du die 1. Ableitung gleich null und die Ergebnisse in die 2. Ableitung ein, um zu prüfen, ob es sich um Hoch-, Tief- oder Sattelpunkte handelt, oder du prüfst auch hier, ob ein VZW stattfindet.

8. Zur Bestimmung der Wendepunkte die 2. Ableitung gleich null setzen und auf Vorzeichenwechsel prüfen.

Falls du einen Wendepunkt bestimmen konntest, bestimmst du mit Hilfe der 1. Ableitung die Steigung an dieser Stelle. Dann setzt du die Koordinaten des Punktes in die allgemeine Geradengleichung y = mx + b ein, um b zu ermitteln.

Kommst du damit weiter?

Gruß, Silvia

Avatar von 40 k

Nur die Wertemenge.. die verstehe ich irgendwie einfach nicht....

Die Funktionswwerte gehen von -∞ bis + ∞
Irgendwelche ausgeklammerten Intervalle
dazwischen gibt es nicht. Der Wertebereich ist
W = [ - ∞ ; + ∞]

Die Wertemenge ist die Menge aller y-Werte, die die Funktion annehmen kann. Du kannst sie zum Beispiel anhand des Funktionsgraphen ablesen. In diesem Fall ist W = R. Bei einer Parabel beispielsweise ist die Wertemenge durch den Scheitelpunkt begrenzt. Die y-Werte können nicht kleiner werden als der Scheitelpunkt, wenn die Parabel nach oben geöffnet, und nicht größer, falls sie nach unten geöffnet ist.

Nur die Wertemenge.. die verstehe ich irgendwie einfach nicht....

Wenn du gedanklich alle Punkte des Graphen parallel zur x-Achse auf die y-Achse "schiebst", erhältst du dort alle y-Werte der Wertemenge W.

Falls du einen Wendepunkt W(xw | yw) bestimmen konntest ...

erhältst du die Gleichung der Wendetangente auch direkt mit der Punkt-Steigungsformel:

\( t:\text{ }y = f '(x_w) ·(x -x_w)+y_w\)

Wow! Vielen Dank für all eure Antworten!! Jetzt hab ich es alles viel besser verstanden :) Vielen Dank!!!! xx

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