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Preiselastizität der Nachfrage berechnen
Die Preiselastizität der Nachfrage ist ein Maß dafür, wie sensibel die Nachfrage nach einem Gut auf Preisänderungen reagiert. Die Formel dafür lautet in der Tat \(e = \frac{f'(p)}{f(p)} \cdot p\), wobei \(e\) die Elastizität, \(f'(p)\) die erste Ableitung der Nachfragefunktion nach dem Preis \(p\), \(f(p)\) der Nachfragewert bei diesem Preis und \(p\) der Preis selbst ist. In deinem Fall ist also \(x\) tatsächlich der Preis \(p\) deiner Nachfragefunktion.
Deine Nachfragefunktion ist \(f(p) = 22 - 0,5p\).
a)
Berechnung der Elastizität
Um die Elastizität zu berechnen, müssen wir zunächst die erste Ableitung der Nachfragefunktion nach \(p\) finden:
\(f'(p) = -0,5\)
Nun setzen wir \(f'(p)\), \(f(p)\) und \(p\) in die Elastizitätsformel ein. Da \(f(p) = 22 - 0,5p\), erhalten wir:
\(e = \frac{-0,5}{22 - 0,5p} \cdot p\)
Für ein bestimmtes \(p\) kann jetzt die Elastizität berechnet werden.
b)
Elastischer und Unelastischer Bereich
Die Nachfrage ist elastisch, wenn \(|e| > 1\), und unelastisch, wenn \(|e| < 1\). Wenn \(|e| = 1\), spricht man von einer Einheitselastizität. Um zu bestimmen, in welchem Bereich die Funktion elastisch oder unelastisch ist, müssen wir den Wert von \(e\) für verschiedene \(p\) aus dem Bereich 0 < p < 44 betrachten.
Da \(e\) von \(p\) abhängt, können wir ohne eine spezifische Berechnung für verschiedene Preise nicht direkt sagen, in welchen Bereichen die Nachfrage elastisch oder unelastisch ist. Allerdings können wir den allgemeinen Trend der Funktion und die Definition der Elastizität verwenden, um zu einer qualitativen Einschätzung zu kommen.
Einsetzen des Ausdrucks für \(e\) lässt uns erkennen, dass die Elastizität negativ ist, da der Zähler immer negativ ist und der Nenner positiv, was typisch für die meisten Nachfragekurven ist. Die absolute Größe dieser Elastizität ändert sich mit \(p\).
Um genau zu bestimmen, ob die Nachfrage elastisch oder unelastisch ist, könnte man spezifische Werte für \(p\) einsetzen und schauen, ob \(|e|\) größer oder kleiner als 1 ist. Angesichts der Formel sieht es jedoch so aus, als ob die Elastizität zunehmen könnte, wenn \(p\) steigt, da der Zähler negativ und konstant ist, während der Nenner (das heißt, der Preis) abnimmt und dadurch den Wert von \(|e|\) erhöht. Dies bedeutet, dass die Nachfrage tendenziell elastischer wird, je höher der Preis ist, bis zu einem gewissen Grad. Obwohl dies eine qualitative Beurteilung ist, muss für eine präzise Antwort der Wert von \(e\) für spezifische \(p\)-Werte berechnet und mit 1 verglichen werden.
