Question

Zeigen Sie: Es gibt genau eine affine Abbildung f : R³ → R³ mit
(a)

\( \begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} \) → \( \begin{pmatrix} 0\\0\\3\end{pmatrix} \) ,
\( \begin{pmatrix} 1\\1\\1 \end{pmatrix} \) →\( \begin{pmatrix} 5\\1\\0 \end{pmatrix} \)  ,
\( \begin{pmatrix} 1\\1\\-1 \end{pmatrix} \) →\( \begin{pmatrix} -1\\-1\\4 \end{pmatrix} \)  ,
\( \begin{pmatrix} 2\\2\\0 \end{pmatrix} \) →\( \begin{pmatrix} 5\\-2\\3 \end{pmatrix} \)

Wie funktioniert das? Bräuchte Hilfe

Answer 1

Dazu muss du zeigen:

Es gibt genau eine lineare Abbildung, so dass für alle Punkte

P, Q  ∈ R^3 gilt     f (Q-P) = f(Q) - f(P)

Das wäre hier ja z.B.

\( f( \begin{pmatrix} 1\\1\\1 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}) = \begin{pmatrix} 5\\1\\0 \end{pmatrix} -\begin{pmatrix} 0\\0\\3\end{pmatrix}\)

\( f( \begin{pmatrix} 1\\1\\-1 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}) = \begin{pmatrix} -1\\-1\\4 \end{pmatrix} -\begin{pmatrix} 0\\0\\3\end{pmatrix}\)

\( f( \begin{pmatrix} 2\\2\\0 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}) = \begin{pmatrix} 5\\-2\\3 \end{pmatrix} -\begin{pmatrix} 0\\0\\3\end{pmatrix}\)

bzw:

\( f( \begin{pmatrix} 0\\1\\1 \end{pmatrix}) = \begin{pmatrix} 5\\1\\-3 \end{pmatrix} \)

\( f( \begin{pmatrix} 0\\1\\-1 \end{pmatrix}) = \begin{pmatrix} -1\\-1\\1 \end{pmatrix}\)

\( f( \begin{pmatrix} 1\\2\\0 \end{pmatrix}) = \begin{pmatrix} 5\\-2\\0 \end{pmatrix} \)

Da \( \begin{pmatrix} 0\\1\\1 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0\\1\\-1 \end{pmatrix}  , \begin{pmatrix} 1\\2\\0 \end{pmatrix}\) eine Basis von R^3 bilden, klappt das; denn eine lin. Abb. ist durch die Angabe der Bilder einer Basis eindeutig festgelegt.