Zeigen Sie, dass es eine affine Abbildung F : Kn → Kn gibt sodass f◦ι = ι◦F .

Question

Aufgabe:

Sei K ein Körper und V ein n+1-dimensionaler K-Vektorraum.

Sei f : ℙ(V ) → ℙ(V ) eine Projektivität. Sei H eine projektive Hyperebene und ι : Kⁿ → ℙ(V ) die kanonische Einbettung. Nehmen Sie an, dass f(H) = H und f (ι(Kⁿ )) ⊂ ι(Kⁿ ).

(a) Zeigen Sie, dass es eine affine Abbildung F : Kⁿ → Kⁿ gibt sodass f◦ι = ι◦F .

(b) Zeigen Sie, dass F eindeutig ist.

(c) Können verschiedene Projektivitäten f die selbe Abbildung F induzieren?